| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Найти наибольшее значение дисперсии http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=36&t=18121 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | Cizz [ 15 сен 2012, 13:26 ] |
| Заголовок сообщения: | Найти наибольшее значение дисперсии |
Здравствуйте, уважаемые господа! Помогите, пожалуйста, в решении данного упражнения: Найти наибольшее значение дисперсии, которое может принимать случайная величина, принимающая значения в отрезке от A до B. Предпринимались попытки доказать это утверждение "в лоб" для начала хотя бы для дискретного распределения, однако они не увенчались успехом. Пожалуйста, подскажите, в каком направлении нужно думать? |
|
| Автор: | Prokop [ 15 сен 2012, 22:13 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти наибольшее значение дисперсии |
Пусть есть дискретная случайная величина [math]X[/math], которая принимает значения [math]x_1 ,x_2 , \ldots x_n[/math] [math]\left( {a \leqslant x_1 < x_2 < \cdots < x_n \leqslant b} \right)[/math] с вероятностями [math]p_1 ,p_2 , \ldots p_n[/math] . Тогда дисперсия [math]D(X)[/math] может быть найдена по формуле [math]D(X) = \frac{1}{2}\sum\limits_{i,j = 1}^n {\left( {x_i - x_j } \right)^2 p_i p_j }[/math] Отсюда, по-видимому, следует, что максимальное значение этой суммы будет при [math]x_1 = a[/math], [math]x_n = b[/math], [math]p_1 = p_n = \frac{1}{2}[/math], а остальные вероятности равны [math]0[/math]. (Простого доказательства у меня нет. Есть длинное, основанное на том, что можно уменьшить число значений, увеличив дисперсию). Другими словами, максимальное значение дисперсии равно [math]\frac{1}{4}\left( {b - a} \right)^2[/math] |
|
| Автор: | Talanov [ 16 сен 2012, 04:14 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти наибольшее значение дисперсии |
Cizz писал(а): Найти наибольшее значение дисперсии, которое может принимать случайная величина, принимающая значения в отрезке от A до B. Наибольшая дисперсия будет наблюдаться если первая половина с.в. примет значение [math]a[/math], а вторая - [math]b[/math]. [math]D[x]=M[x^2]-M[x]^2=\frac{a^2+b^2}{2}-(\frac{a+b}{2})^2=\frac{(a-b)^2}{4}[/math]. |
|
| Автор: | Cizz [ 16 сен 2012, 14:52 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти наибольшее значение дисперсии |
Talanov писал(а): Наибольшая дисперсия будет наблюдаться если первая половина с.в. примет значение , а вторая - . Это можно считать очевидным, или нужно обосновать? Просто интуитивно это понятно...а можно ли это как-то строго показать? |
|
| Автор: | Talanov [ 16 сен 2012, 15:02 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти наибольшее значение дисперсии |
Cizz писал(а): Это можно считать очевидным, или нужно обосновать? Просто интуитивно это понятно...а можно ли это как-то строго показать? Наверно можно. А кому доказать? Кто-то засомневался? |
|
| Автор: | Cizz [ 16 сен 2012, 23:03 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти наибольшее значение дисперсии |
Talanov писал(а): Наверно можно. А кому доказать? Кто-то засомневался? Ну в данном случае речь идёт о письменном экамене. Как они там отреагируют на слово "очевидно" не совсем понятно
|
|
| Автор: | Prokop [ 19 сен 2012, 00:14 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти наибольшее значение дисперсии |
Рассмотрим дискретную случайную величину и используем обозначения моего предыдущего поста (приведу рассуждение, о котором говорилось там). Для дисперсии была указана формула [math]D = \frac{1}{2}\sum\limits_{i,k = 1}^n {\left( {x_k - x_i } \right)^2 p_k p_i }[/math] Будем увеличивать значение этой величины. 1. Ясно, что значение этой величины увеличится, если положить [math]x_1 = a[/math], [math]x_n = b[/math] 2. Будем максимизировать [math]D[/math], меняя значение только одной переменной [math]x_k ,\;k \ne 1,n[/math], в промежутке [math]\left[ {x_{k - 1} ,x_{k + 1} } \right][/math]. Т.к. величина [math]D[/math] является квадратным многочленом относительно переменной [math]x_k[/math], то максимум достигается на каком-либо конце рассматриваемого промежутка, например, на конце [math]x_{k + 1}[/math]. Тогда построим новую случайную величину, у которой не будет значения [math]x_k[/math], а значение [math]x_{k + 1}[/math] будет наступать с вероятностью [math]p_k + p_{k + 1}[/math]. У новой случайной величины дисперсия будет больше. 3. Повторяя рассуждение предыдущего пункта, придём к случайной величине, которая принимает два значения: [math]a[/math] и [math]b[/math], с вероятностями [math]p_1[/math] и [math]p_2[/math] соответственно. Легко убедится в том, что максимальная дисперсия будет при [math]p_1 = p_2 = \frac{1}{2}[/math]. Эта дисперсия равна [math]\frac{{\left( {b - a} \right)^2 }}{4}[/math]. 4. Теперь осталось написать некоторые заклинания, на тему приближения любой случайной величины со значениями на промежутке [math][a,b][/math] и конечной дисперсией дискретными величинами. |
|
| Автор: | Cizz [ 19 сен 2012, 10:09 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти наибольшее значение дисперсии |
Prokop, спасибо. |
|
| Автор: | Jeanhilippe [ 31 мар 2013, 22:20 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти наибольшее значение дисперсии |
Хоть и запоздало, но как то так вот: [math]\mathsf{D} \xi = \min_{c \in [a,b]}\mathsf{E(\xi-c)^2}=\min_{c \in [a,b]}\int_a^b\,(x-c)^2\,dF\leq\min_{c \in [a,b]}\max_{x\in[a,b]}(x-c)^2F([a,b])=\min_{c \in [a,b]}\max((a-c)^2,(b-c)^2)=\frac{(a-b)^2}{4}[/math] Ну, а пример функции распределения при которой достигается равенство, думаю, легко привести, исходя из выкладок. |
|
| Автор: | Cizz [ 31 мар 2013, 22:36 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти наибольшее значение дисперсии |
Спасибо, не поздно) |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|