Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти наибольшее значение дисперсии
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=36&t=18121
Страница 1 из 2

Автор:  Cizz [ 15 сен 2012, 13:26 ]
Заголовок сообщения:  Найти наибольшее значение дисперсии

Здравствуйте, уважаемые господа! Помогите, пожалуйста, в решении данного упражнения:

Найти наибольшее значение дисперсии, которое может принимать случайная величина, принимающая значения в отрезке от A до B.

Предпринимались попытки доказать это утверждение "в лоб" для начала хотя бы для дискретного распределения, однако они не увенчались успехом.
Пожалуйста, подскажите, в каком направлении нужно думать?

Автор:  Prokop [ 15 сен 2012, 22:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти наибольшее значение дисперсии

Пусть есть дискретная случайная величина [math]X[/math], которая принимает значения

[math]x_1 ,x_2 , \ldots x_n[/math] [math]\left( {a \leqslant x_1 < x_2 < \cdots < x_n \leqslant b} \right)[/math] с вероятностями [math]p_1 ,p_2 , \ldots p_n[/math] .

Тогда дисперсия [math]D(X)[/math] может быть найдена по формуле

[math]D(X) = \frac{1}{2}\sum\limits_{i,j = 1}^n {\left( {x_i - x_j } \right)^2 p_i p_j }[/math]

Отсюда, по-видимому, следует, что максимальное значение этой суммы будет при

[math]x_1 = a[/math], [math]x_n = b[/math], [math]p_1 = p_n = \frac{1}{2}[/math], а остальные вероятности равны [math]0[/math].

(Простого доказательства у меня нет. Есть длинное, основанное на том, что можно уменьшить число значений, увеличив дисперсию).

Другими словами, максимальное значение дисперсии равно
[math]\frac{1}{4}\left( {b - a} \right)^2[/math]

Автор:  Talanov [ 16 сен 2012, 04:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти наибольшее значение дисперсии

Cizz писал(а):
Найти наибольшее значение дисперсии, которое может принимать случайная величина, принимающая значения в отрезке от A до B.

Наибольшая дисперсия будет наблюдаться если первая половина с.в. примет значение [math]a[/math], а вторая - [math]b[/math].
[math]D[x]=M[x^2]-M[x]^2=\frac{a^2+b^2}{2}-(\frac{a+b}{2})^2=\frac{(a-b)^2}{4}[/math].

Автор:  Cizz [ 16 сен 2012, 14:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти наибольшее значение дисперсии

Talanov писал(а):
Наибольшая дисперсия будет наблюдаться если первая половина с.в. примет значение , а вторая - .

Это можно считать очевидным, или нужно обосновать? Просто интуитивно это понятно...а можно ли это как-то строго показать?

Автор:  Talanov [ 16 сен 2012, 15:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти наибольшее значение дисперсии

Cizz писал(а):
Это можно считать очевидным, или нужно обосновать? Просто интуитивно это понятно...а можно ли это как-то строго показать?

Наверно можно. А кому доказать? Кто-то засомневался?

Автор:  Cizz [ 16 сен 2012, 23:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти наибольшее значение дисперсии

Talanov писал(а):
Наверно можно. А кому доказать? Кто-то засомневался?

Ну в данном случае речь идёт о письменном экамене. Как они там отреагируют на слово "очевидно" не совсем понятно :)

Автор:  Prokop [ 19 сен 2012, 00:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти наибольшее значение дисперсии

Рассмотрим дискретную случайную величину и используем обозначения моего предыдущего поста (приведу рассуждение, о котором говорилось там).
Для дисперсии была указана формула
[math]D = \frac{1}{2}\sum\limits_{i,k = 1}^n {\left( {x_k - x_i } \right)^2 p_k p_i }[/math]
Будем увеличивать значение этой величины.
1. Ясно, что значение этой величины увеличится, если положить [math]x_1 = a[/math], [math]x_n = b[/math]
2. Будем максимизировать [math]D[/math], меняя значение только одной переменной [math]x_k ,\;k \ne 1,n[/math], в промежутке [math]\left[ {x_{k - 1} ,x_{k + 1} } \right][/math]. Т.к. величина [math]D[/math] является квадратным многочленом относительно переменной [math]x_k[/math], то максимум достигается на каком-либо конце рассматриваемого промежутка, например, на конце [math]x_{k + 1}[/math]. Тогда построим новую случайную величину, у которой не будет значения [math]x_k[/math], а значение [math]x_{k + 1}[/math] будет наступать с вероятностью [math]p_k + p_{k + 1}[/math]. У новой случайной величины дисперсия будет больше.
3. Повторяя рассуждение предыдущего пункта, придём к случайной величине, которая принимает два значения: [math]a[/math] и [math]b[/math], с вероятностями [math]p_1[/math] и [math]p_2[/math] соответственно. Легко убедится в том, что максимальная дисперсия будет при [math]p_1 = p_2 = \frac{1}{2}[/math]. Эта дисперсия равна [math]\frac{{\left( {b - a} \right)^2 }}{4}[/math].
4. Теперь осталось написать некоторые заклинания, на тему приближения любой случайной величины со значениями на промежутке [math][a,b][/math] и конечной дисперсией дискретными величинами.

Автор:  Cizz [ 19 сен 2012, 10:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти наибольшее значение дисперсии

Prokop, спасибо.

Автор:  Jeanhilippe [ 31 мар 2013, 22:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти наибольшее значение дисперсии

Хоть и запоздало, но как то так вот:

[math]\mathsf{D} \xi = \min_{c \in [a,b]}\mathsf{E(\xi-c)^2}=\min_{c \in [a,b]}\int_a^b\,(x-c)^2\,dF\leq\min_{c \in [a,b]}\max_{x\in[a,b]}(x-c)^2F([a,b])=\min_{c \in [a,b]}\max((a-c)^2,(b-c)^2)=\frac{(a-b)^2}{4}[/math]

Ну, а пример функции распределения при которой достигается равенство, думаю, легко привести, исходя из выкладок.

Автор:  Cizz [ 31 мар 2013, 22:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти наибольшее значение дисперсии

Спасибо, не поздно)

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/