Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти наибольшее значение дисперсии
СообщениеДобавлено: 15 сен 2012, 13:26 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
15 сен 2012, 13:22
Сообщений: 9
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте, уважаемые господа! Помогите, пожалуйста, в решении данного упражнения:

Найти наибольшее значение дисперсии, которое может принимать случайная величина, принимающая значения в отрезке от A до B.

Предпринимались попытки доказать это утверждение "в лоб" для начала хотя бы для дискретного распределения, однако они не увенчались успехом.
Пожалуйста, подскажите, в каком направлении нужно думать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти наибольшее значение дисперсии
СообщениеДобавлено: 15 сен 2012, 22:13 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пусть есть дискретная случайная величина [math]X[/math], которая принимает значения

[math]x_1 ,x_2 , \ldots x_n[/math] [math]\left( {a \leqslant x_1 < x_2 < \cdots < x_n \leqslant b} \right)[/math] с вероятностями [math]p_1 ,p_2 , \ldots p_n[/math] .

Тогда дисперсия [math]D(X)[/math] может быть найдена по формуле

[math]D(X) = \frac{1}{2}\sum\limits_{i,j = 1}^n {\left( {x_i - x_j } \right)^2 p_i p_j }[/math]

Отсюда, по-видимому, следует, что максимальное значение этой суммы будет при

[math]x_1 = a[/math], [math]x_n = b[/math], [math]p_1 = p_n = \frac{1}{2}[/math], а остальные вероятности равны [math]0[/math].

(Простого доказательства у меня нет. Есть длинное, основанное на том, что можно уменьшить число значений, увеличив дисперсию).

Другими словами, максимальное значение дисперсии равно
[math]\frac{1}{4}\left( {b - a} \right)^2[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
Cizz, mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Найти наибольшее значение дисперсии
СообщениеДобавлено: 16 сен 2012, 04:14 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 дек 2011, 15:16
Сообщений: 11718
Откуда: Дивногорск
Cпасибо сказано: 798
Спасибо получено:
1994 раз в 1832 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Cizz писал(а):
Найти наибольшее значение дисперсии, которое может принимать случайная величина, принимающая значения в отрезке от A до B.

Наибольшая дисперсия будет наблюдаться если первая половина с.в. примет значение [math]a[/math], а вторая - [math]b[/math].
[math]D[x]=M[x^2]-M[x]^2=\frac{a^2+b^2}{2}-(\frac{a+b}{2})^2=\frac{(a-b)^2}{4}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Talanov "Спасибо" сказали:
Cizz
 Заголовок сообщения: Re: Найти наибольшее значение дисперсии
СообщениеДобавлено: 16 сен 2012, 14:52 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
15 сен 2012, 13:22
Сообщений: 9
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Talanov писал(а):
Наибольшая дисперсия будет наблюдаться если первая половина с.в. примет значение , а вторая - .

Это можно считать очевидным, или нужно обосновать? Просто интуитивно это понятно...а можно ли это как-то строго показать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти наибольшее значение дисперсии
СообщениеДобавлено: 16 сен 2012, 15:02 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 дек 2011, 15:16
Сообщений: 11718
Откуда: Дивногорск
Cпасибо сказано: 798
Спасибо получено:
1994 раз в 1832 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Cizz писал(а):
Это можно считать очевидным, или нужно обосновать? Просто интуитивно это понятно...а можно ли это как-то строго показать?

Наверно можно. А кому доказать? Кто-то засомневался?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти наибольшее значение дисперсии
СообщениеДобавлено: 16 сен 2012, 23:03 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
15 сен 2012, 13:22
Сообщений: 9
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Talanov писал(а):
Наверно можно. А кому доказать? Кто-то засомневался?

Ну в данном случае речь идёт о письменном экамене. Как они там отреагируют на слово "очевидно" не совсем понятно :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти наибольшее значение дисперсии
СообщениеДобавлено: 19 сен 2012, 00:14 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Рассмотрим дискретную случайную величину и используем обозначения моего предыдущего поста (приведу рассуждение, о котором говорилось там).
Для дисперсии была указана формула
[math]D = \frac{1}{2}\sum\limits_{i,k = 1}^n {\left( {x_k - x_i } \right)^2 p_k p_i }[/math]
Будем увеличивать значение этой величины.
1. Ясно, что значение этой величины увеличится, если положить [math]x_1 = a[/math], [math]x_n = b[/math]
2. Будем максимизировать [math]D[/math], меняя значение только одной переменной [math]x_k ,\;k \ne 1,n[/math], в промежутке [math]\left[ {x_{k - 1} ,x_{k + 1} } \right][/math]. Т.к. величина [math]D[/math] является квадратным многочленом относительно переменной [math]x_k[/math], то максимум достигается на каком-либо конце рассматриваемого промежутка, например, на конце [math]x_{k + 1}[/math]. Тогда построим новую случайную величину, у которой не будет значения [math]x_k[/math], а значение [math]x_{k + 1}[/math] будет наступать с вероятностью [math]p_k + p_{k + 1}[/math]. У новой случайной величины дисперсия будет больше.
3. Повторяя рассуждение предыдущего пункта, придём к случайной величине, которая принимает два значения: [math]a[/math] и [math]b[/math], с вероятностями [math]p_1[/math] и [math]p_2[/math] соответственно. Легко убедится в том, что максимальная дисперсия будет при [math]p_1 = p_2 = \frac{1}{2}[/math]. Эта дисперсия равна [math]\frac{{\left( {b - a} \right)^2 }}{4}[/math].
4. Теперь осталось написать некоторые заклинания, на тему приближения любой случайной величины со значениями на промежутке [math][a,b][/math] и конечной дисперсией дискретными величинами.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
Cizz
 Заголовок сообщения: Re: Найти наибольшее значение дисперсии
СообщениеДобавлено: 19 сен 2012, 10:09 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
15 сен 2012, 13:22
Сообщений: 9
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop, спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти наибольшее значение дисперсии
СообщениеДобавлено: 31 мар 2013, 22:20 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
31 мар 2013, 21:50
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Хоть и запоздало, но как то так вот:

[math]\mathsf{D} \xi = \min_{c \in [a,b]}\mathsf{E(\xi-c)^2}=\min_{c \in [a,b]}\int_a^b\,(x-c)^2\,dF\leq\min_{c \in [a,b]}\max_{x\in[a,b]}(x-c)^2F([a,b])=\min_{c \in [a,b]}\max((a-c)^2,(b-c)^2)=\frac{(a-b)^2}{4}[/math]

Ну, а пример функции распределения при которой достигается равенство, думаю, легко привести, исходя из выкладок.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Jeanhilippe "Спасибо" сказали:
Cizz
 Заголовок сообщения: Re: Найти наибольшее значение дисперсии
СообщениеДобавлено: 31 мар 2013, 22:36 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
15 сен 2012, 13:22
Сообщений: 9
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо, не поздно)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 12 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти значение y при известном значении выборочной дисперсии

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

a90k

4

274

30 май 2020, 10:37

Найти наибольшее значение выражения

в форуме Тригонометрия

gfibr

10

883

14 мар 2019, 17:23

Найти наибольшее значение функции

в форуме Численные методы

stargame21

6

989

18 фев 2019, 19:37

Найти наибольшее значение функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

decadans

35

917

14 июл 2017, 13:41

Как найти наибольшее значение функции?

в форуме Тригонометрия

Pingvinn

4

732

28 мар 2019, 16:12

Найти наименьшее и наибольшее значение

в форуме Дифференциальное исчисление

Angel029

20

1969

05 авг 2015, 21:32

Найти наибольшее значение функции

в форуме Алгебра

vichost

17

632

03 июн 2022, 10:53

Найти наибольшее значение функции

в форуме Алгебра

oak1996

4

744

05 июн 2015, 08:46

Найти наибольшее и наименьшее значение

в форуме Дифференциальное исчисление

mkolmi

9

440

01 дек 2017, 17:49

Найти наименьшее и наибольшее значение

в форуме Дифференциальное исчисление

Alexand

1

589

11 май 2015, 18:57


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved