Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Независимость и некоррелированность.
СообщениеДобавлено: 16 апр 2012, 22:15 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
15 дек 2011, 22:02
Сообщений: 133
Cпасибо сказано: 92
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение

10.2.5

Понимаю, что если [math]\tau_1[/math] и [math]\tau_2[/math] будут независимыми, то из этого следует, что ковариация [math]V_{\tau_1\tau_2}=0[/math]. Но как узнать - независимые они или нет? Предполагаю, что нужно начать с того, что [math]V_{\xi_1\xi_2}=0[/math], так как эти величины независимы по условию.

По определению независимости случайных величин:

[math]\mathbb{P}(\xi_1=x_1,\xi_2=y_1)=\mathbb{P}(\xi_1=x_1)\cdot\mathbb{P}(\xi_2=y_1)[/math]

Как быть со второй задачей?

10.2.6

Из того, что [math]V_{\xi_1\xi_2}=0[/math] следует, что [math]E(\xi_1\xi_2)=E(\xi_1)\cdot E(\xi_2)[/math]

1.

Используя свойства мат.ожидания и то, что [math]E(\xi_1\xi_2)=E(\xi_1)\cdot E(\xi_2)[/math], имеем:

[math]E(\xi_1-7\xi_2+7\xi_1\xi_2)=E(\xi_1)-7E(\xi_2)+7E(\xi_1)E(\xi_2)[/math]

2.

Примерно тоже самое, не хватает информации о [math]E(\xi_1)[/math] и [math]E(\xi_2)[/math] и [math]E(\xi_1^2)[/math] и [math]E(\xi_2^2)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Независимость и некоррелированность.
СообщениеДобавлено: 16 апр 2012, 23:35 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
15 дек 2011, 22:02
Сообщений: 133
Cпасибо сказано: 92
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Еще вот по этой задаче есть вопросы:
Изображение

10.2.7

1) Можно сделать вот что

[math]E[-5\xi_1+\xi_2+0,2\xi_1\xi_2-0,2\xi_1^2+2\xi_2^2-\xi_3\xi_2-1]=-5E[xi_1+E[\xi_2]+0,2E[\xi_1\xi_2]-0,2E[\xi_1^2]+2E[\xi_2^2]-E[\xi_3\xi_2]-E[1][/math]

Нам неизвестны [math]E[\xi_1][/math] u [math]E[\xi_2][/math]. Как их можно найти?

Рассмотрим часть возможных уравнений.

[math]E[\xi_1^2]-E^2[\xi_1]=1[/math]

[math]E[\xi_1\xi_2]-E[\xi_1]E[\xi_2]=-\frac{1}{6}[/math]

[math]E[\xi_2^2]-E^2[\xi_2]=\frac{1}{4}[/math]

Неужели, составив остальные 6 уравнений - мы сможем найти то, что нужно?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Независимость и некоррелированность.
СообщениеДобавлено: 17 апр 2012, 00:08 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
05 июл 2010, 09:52
Сообщений: 362
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
101 раз в 90 сообщениях
Очков репутации: 9

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
never-sleep писал(а):
Нам неизвестны [math]E[\xi_1][/math] u [math]E[\xi_2][/math]. Как их можно найти?

Сначала по второй задаче: как неизвестны? Они в условии даны: вектор матожиданий записан перед матрицей ковариаций.

Задачи 10.2.5 (кстати, что за источник?) и 10.2.6 - качественные, вопросы "будут ли" в них следует понимать как "обязательно ли". Матожидания во второй задаче 10.2.6 ни при чём, условие следует понимать как "известны распределения [math]\xi_1[/math] и [math]\xi_2[/math], и известно, что эти величины некоррелированы. Хватит ли этого, чтобы найти ..."

К задаче 10.2.5 определение независимости, которое Вы хотите использовать, годится только в частном случае дискретных распределений. Других определений не было? Ну и в этом частном случае - берите обе тау, записывайте для них определение независимости, и проверяйте наличие равенства левой и правой частей. Обе вероятности выражаются через вероятности для обеих кси.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю --ms-- "Спасибо" сказали:
never-sleep
 Заголовок сообщения: Re: Независимость и некоррелированность.
СообщениеДобавлено: 17 апр 2012, 00:26 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
15 дек 2011, 22:02
Сообщений: 133
Cпасибо сказано: 92
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо, 10.2.7 понятна.

В смысле - что за источник?

10.2.6

Мне кажется, что необязательно. Но аргументировать не могу. Тут нужен контр-пример?

10.2.5

Сейчас попробую расписать сначала дискретный случай.

[math]\mathbb{P}(\xi_1=x_1,\xi_2=y_1)=\mathbb{P}(\xi_1=x_1)\cdot\mathbb{P}(\xi_2=y_1)[/math]

Проверим равенство

[math]\mathbb{P}(\tau_1=\alpha,\tau_2=\beta)=\mathbb{P}(\tau_1=\alpha)\cdot\mathbb{P}(\tau_2=\beta)[/math]

[math]\mathbb{P}(\xi_1-5=\alpha,\xi_2^2=\beta)=\mathbb{P}(\xi_1-5=\alpha)\cdot\mathbb{P}(\xi_2^2=\beta)[/math]

[math]\mathbb{P}(\xi_1=\alpha+5,\xi_2=\pm\sqrt{\beta})=\mathbb{P}(\xi_1=\alpha+5)\cdot\mathbb{P}(\xi_2=\pm\sqrt{\beta})[/math]

Пусть [math]x_1=\alpha+5[/math], а [math]y_1=\pm\sqrt{\beta}[/math]

Но это какая-то ерунда получается...

Для непрерывного случая нужно проверить равенство [math]f(\xi_1,\x_2)=f(\xi_1)f(\xi_2)[/math], где [math]f[/math] - плотность непрерывного распределения.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Независимость и некоррелированность.
СообщениеДобавлено: 17 апр 2012, 06:46 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
05 июл 2010, 09:52
Сообщений: 362
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
101 раз в 90 сообщениях
Очков репутации: 9

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
never-sleep писал(а):
В смысле - что за источник?

В смысле, из какого задачника эти задачи. С тройной нумерацией задачников не видела, а по этим задачам уже очень хотелось бы понять, какого уровня строгости ответы требуются, т.е. что какому теоретическому материалу они отвечают.
never-sleep писал(а):
10.2.6
Мне кажется, что необязательно. Но аргументировать не могу. Тут нужен контр-пример?

На оба пункта ответ "не обязательно"? Вряд ли тут можно приводить контрпримеры. Потому как примером того, что нельзя посчитать матожидание [math]\xi_1^2\sin(\xi_2)[/math], зная частные распределения и зная некоррелированность, может быть только предъявление двух пар случайных величин [math](\xi_1,\xi_2)[/math] и [math](\eta_1,\eta_2)[/math] таких, что распределения [math]\xi_1[/math] и [math]\eta_1[/math] одинаковы, распределения [math]\xi_2[/math] и [math]\eta_2[/math] одинаковы, в обеих парах величины некоррелированы, а матожидания [math]\xi_1^2\sin(\xi_2)[/math] и [math]\eta_1^2\sin(\eta_2)[/math] у них разные.
Вряд ли задача стоит такой работы. Наверняка нужен качественный ответ с объяснениями типа: матожидание произведения мы можем посчитать как "[math]\mathsf E(\xi_1\xi_2)=\mathsf E\xi_1\mathsf E\xi_2[/math]", а про [math]\mathsf E\xi_1^2\sin \xi_2[/math] ничего не дано".

Но не зная уровня строгости, требуемого в курсе, нельзя ничего определённо сказать о том, какие размахивания руками в воздухе сойдут за обоснования. Смотрите аналогичные решения задач в этом задачнике, если они есть.

never-sleep писал(а):
[math]\mathbb{P}(\xi_1=\alpha+5,\xi_2=\pm\sqrt{\beta})=\mathbb{P}(\xi_1=\alpha+5)\cdot\mathbb{P}(\xi_2=\pm\sqrt{\beta})[/math]

Пусть [math]x_1=\alpha+5[/math], а [math]y_1=\pm\sqrt{\beta}[/math]

Но это какая-то ерунда получается...

Не так только расписали вероятность про квадрат. Событие [math]\{\xi_2^2=\beta\}[/math] есть объединение двух событий [math]\{\xi_2=\beta\}\cup\{\xi_2=-\beta\}[/math], соответственно вероятности складываются - как слева, так и справа. А почему ерунда-то, что не так? Независимость получена или нет?

И что, никакого общего определения независимости не было? Если были только определения для дискретного и абсолютно непрерывного случаев отдельно, эту задачу решить и давать для решения просто нельзя.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю --ms-- "Спасибо" сказали:
never-sleep
 Заголовок сообщения: Re: Независимость и некоррелированность.
СообщениеДобавлено: 17 апр 2012, 13:14 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
15 дек 2011, 22:02
Сообщений: 133
Cпасибо сказано: 92
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
--ms-- писал(а):
И что, никакого общего определения независимости не было? Если были только определения для дискретного и абсолютно непрерывного случаев отдельно, эту задачу решить и давать для решения просто нельзя.

Было лишь вот такое общее определение:
Изображение

Неужели мы далее будем доказывать следующее равенство
[math]\mathbb{P}(\tau_1 <\alpha, \tau_2<\beta)=\mathbb{P}(\tau_1 < \alpha)\cdot \mathbb{P}( \tau_2<\beta)[/math]

[math]\mathbb{P}(\xi_1-5<\alpha,\xi_2^2<\beta)=\mathbb{P}(\xi_1-5<\alpha)\cdot\mathbb{P}(\xi_2^2<\beta)[/math]

[math]\mathbb{P}(\xi_1<\alpha+5,-\sqrt{\beta}<\xi_2<\sqrt{\beta})=\mathbb{P}(\xi_1<\alpha+5)\cdot \mathbb{P}(-\sqrt{\beta}<\xi_2<\sqrt{\beta})[/math]

У нас есть одно ограничение [math]\beta\geqslant 0[/math]. Если бы не оно [math]\tau_1[/math] и [math]\tau_2[/math] были бы независимыми. Или оно не мешает?


Последний раз редактировалось never-sleep 17 апр 2012, 14:01, всего редактировалось 8 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Независимость и некоррелированность.
СообщениеДобавлено: 17 апр 2012, 13:17 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
15 дек 2011, 22:02
Сообщений: 133
Cпасибо сказано: 92
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
--ms-- писал(а):
В смысле, из какого задачника эти задачи. С тройной нумерацией задачников не видела, а по этим задачам уже очень хотелось бы понять, какого уровня строгости ответы требуются, т.е. что какому теоретическому материалу они отвечают.

Дело в том, что в свободном доступе такого задачника нет... Могу прислать необходимый теоретический материал, чтобы вы смогли понять уровень строгости...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Независимость и некоррелированность.
СообщениеДобавлено: 17 апр 2012, 13:19 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
15 дек 2011, 22:02
Сообщений: 133
Cпасибо сказано: 92
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
--ms-- писал(а):
Не так только расписали вероятность про квадрат. Событие [math]\{\xi_2^2=\beta\}[/math] есть объединение двух событий [math]\{\xi_2=\beta\}\cup\{\xi_2=-\beta\}[/math], соответственно вероятности складываются - как слева, так и справа. А почему ерунда-то, что не так? Независимость получена или нет?

Да, действительно, так будет правильно, спасибо. Судя по всему -- получена независимость для дискретных случайных величин, если [math]\beta\geqslant 0[/math], но этого ограничения, опять же, не было в условии задачи..


Последний раз редактировалось never-sleep 17 апр 2012, 13:56, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Независимость и некоррелированность.
СообщениеДобавлено: 17 апр 2012, 13:31 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
15 дек 2011, 22:02
Сообщений: 133
Cпасибо сказано: 92
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
--ms-- писал(а):
На оба пункта ответ "не обязательно"? Вряд ли тут можно приводить контрпримеры. Потому как примером того, что нельзя посчитать матожидание [math]\xi_1^2\sin(\xi_2)[/math], зная частные распределения и зная некоррелированность, может быть только предъявление двух пар случайных величин [math](\xi_1,\xi_2)[/math] и [math](\eta_1,\eta_2)[/math] таких, что распределения [math]\xi_1[/math] и [math]\eta_1[/math] одинаковы, распределения [math]\xi_2[/math] и [math]\eta_2[/math] одинаковы, в обеих парах величины некоррелированы, а матожидания [math]\xi_1^2\sin(\xi_2)[/math] и [math]\eta_1^2\sin(\eta_2)[/math] у них разные.
Вряд ли задача стоит такой работы. Наверняка нужен качественный ответ с объяснениями типа: матожидание произведения мы можем посчитать как "[math]\mathsf E(\xi_1\xi_2)=\mathsf E\xi_1\mathsf E\xi_2[/math]", а про [math]\mathsf E\xi_1^2\sin \xi_2[/math] ничего не дано".

Но не зная уровня строгости, требуемого в курсе, нельзя ничего определённо сказать о том, какие размахивания руками в воздухе сойдут за обоснования. Смотрите аналогичные решения задач в этом задачнике, если они есть.



Только на первый ответ "не обязательно". На второй можно расписать [math]V_{\tau_1\tau_2}[/math] через [math]\xi_1,\xi_2[/math]

[math]V_{\tau_1\tau_2}=V_{(\xi_1-5)(\xi_2^2)}=E[(\xi_1-5)(\xi_2^2)]-E[\xi_1-5]E[\xi_2^2]=E[\xi_1\xi_2^2]-E[\xi_1]E[\xi_2^2][/math]


Кажется, что эта штука все равно будет нулем, раз [math]E[\xi_1\xi_2]-E[\xi_1]E[\xi_2]=0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Независимость и некоррелированность.
СообщениеДобавлено: 17 апр 2012, 18:45 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
05 июл 2010, 09:52
Сообщений: 362
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
101 раз в 90 сообщениях
Очков репутации: 9

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
never-sleep писал(а):
Неужели мы далее будем доказывать следующее равенство
[math]\mathbb{P}(\tau_1 <\alpha, \tau_2<\beta)=\mathbb{P}(\tau_1 < \alpha)\cdot \mathbb{P}( \tau_2<\beta)[/math]

[math]\mathbb{P}(\xi_1-5<\alpha,\xi_2^2<\beta)=\mathbb{P}(\xi_1-5<\alpha)\cdot\mathbb{P}(\xi_2^2<\beta)[/math]

[math]\mathbb{P}(\xi_1<\alpha+5,-\sqrt{\beta}<\xi_2<\sqrt{\beta})=\mathbb{P}(\xi_1<\alpha+5)\cdot \mathbb{P}(-\sqrt{\beta}<\xi_2<\sqrt{\beta})[/math]

У нас есть одно ограничение [math]\beta\geqslant 0[/math]. Если бы не оно [math]\tau_1[/math] и [math]\tau_2[/math] были бы независимыми. Или оно не мешает?

А чем оно может мешать? Вам нужно показать верхнее равенство для всех [math]\beta_1[/math] и [math]\beta_2[/math]. Если [math]\beta_2[/math] неположительно, то и слева, и справа нуль, равенство выполнено.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю --ms-- "Спасибо" сказали:
never-sleep
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 19 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Линейная независимость

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

md_house

1

208

08 мар 2018, 17:44

Независимость σ-алгебр

в форуме Теория вероятностей

Ildarryabkov

7

593

05 мар 2017, 23:52

Зависимость и независимость

в форуме Дифференциальное исчисление

Space

4

412

09 сен 2016, 20:10

Объединение событий и их независимость

в форуме Теория вероятностей

tim

4

107

04 май 2023, 17:27

Независимость случайных величин

в форуме Теория вероятностей

Zhenek

0

164

23 сен 2018, 07:59

Независимость системы косинусов

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

searcher

5

271

04 июл 2021, 11:32

Установить независимость событий

в форуме Теория вероятностей

Ferrari F1

3

393

24 окт 2015, 10:32

Задача на независимость событий

в форуме Теория вероятностей

[dominika]

1

389

06 дек 2014, 20:15

Проверить линейную независимость

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

denis_fpmi

0

338

17 июн 2014, 22:12

Как определить линейнозависимость (независимость векторов) ?

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

TOOFACK

2

155

03 дек 2019, 21:59


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 43


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved