Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 19 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
never-sleep |
|
|
10.2.5 Понимаю, что если [math]\tau_1[/math] и [math]\tau_2[/math] будут независимыми, то из этого следует, что ковариация [math]V_{\tau_1\tau_2}=0[/math]. Но как узнать - независимые они или нет? Предполагаю, что нужно начать с того, что [math]V_{\xi_1\xi_2}=0[/math], так как эти величины независимы по условию. По определению независимости случайных величин: [math]\mathbb{P}(\xi_1=x_1,\xi_2=y_1)=\mathbb{P}(\xi_1=x_1)\cdot\mathbb{P}(\xi_2=y_1)[/math] Как быть со второй задачей? 10.2.6 Из того, что [math]V_{\xi_1\xi_2}=0[/math] следует, что [math]E(\xi_1\xi_2)=E(\xi_1)\cdot E(\xi_2)[/math] 1. Используя свойства мат.ожидания и то, что [math]E(\xi_1\xi_2)=E(\xi_1)\cdot E(\xi_2)[/math], имеем: [math]E(\xi_1-7\xi_2+7\xi_1\xi_2)=E(\xi_1)-7E(\xi_2)+7E(\xi_1)E(\xi_2)[/math] 2. Примерно тоже самое, не хватает информации о [math]E(\xi_1)[/math] и [math]E(\xi_2)[/math] и [math]E(\xi_1^2)[/math] и [math]E(\xi_2^2)[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
never-sleep |
|
|
Еще вот по этой задаче есть вопросы:
10.2.7 1) Можно сделать вот что [math]E[-5\xi_1+\xi_2+0,2\xi_1\xi_2-0,2\xi_1^2+2\xi_2^2-\xi_3\xi_2-1]=-5E[xi_1+E[\xi_2]+0,2E[\xi_1\xi_2]-0,2E[\xi_1^2]+2E[\xi_2^2]-E[\xi_3\xi_2]-E[1][/math] Нам неизвестны [math]E[\xi_1][/math] u [math]E[\xi_2][/math]. Как их можно найти? Рассмотрим часть возможных уравнений. [math]E[\xi_1^2]-E^2[\xi_1]=1[/math] [math]E[\xi_1\xi_2]-E[\xi_1]E[\xi_2]=-\frac{1}{6}[/math] [math]E[\xi_2^2]-E^2[\xi_2]=\frac{1}{4}[/math] Неужели, составив остальные 6 уравнений - мы сможем найти то, что нужно? |
||
Вернуться к началу | ||
--ms-- |
|
|
never-sleep писал(а): Нам неизвестны [math]E[\xi_1][/math] u [math]E[\xi_2][/math]. Как их можно найти? Сначала по второй задаче: как неизвестны? Они в условии даны: вектор матожиданий записан перед матрицей ковариаций. Задачи 10.2.5 (кстати, что за источник?) и 10.2.6 - качественные, вопросы "будут ли" в них следует понимать как "обязательно ли". Матожидания во второй задаче 10.2.6 ни при чём, условие следует понимать как "известны распределения [math]\xi_1[/math] и [math]\xi_2[/math], и известно, что эти величины некоррелированы. Хватит ли этого, чтобы найти ..." К задаче 10.2.5 определение независимости, которое Вы хотите использовать, годится только в частном случае дискретных распределений. Других определений не было? Ну и в этом частном случае - берите обе тау, записывайте для них определение независимости, и проверяйте наличие равенства левой и правой частей. Обе вероятности выражаются через вероятности для обеих кси. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю --ms-- "Спасибо" сказали: never-sleep |
||
never-sleep |
|
|
Спасибо, 10.2.7 понятна.
В смысле - что за источник? 10.2.6 Мне кажется, что необязательно. Но аргументировать не могу. Тут нужен контр-пример? 10.2.5 Сейчас попробую расписать сначала дискретный случай. [math]\mathbb{P}(\xi_1=x_1,\xi_2=y_1)=\mathbb{P}(\xi_1=x_1)\cdot\mathbb{P}(\xi_2=y_1)[/math] Проверим равенство [math]\mathbb{P}(\tau_1=\alpha,\tau_2=\beta)=\mathbb{P}(\tau_1=\alpha)\cdot\mathbb{P}(\tau_2=\beta)[/math] [math]\mathbb{P}(\xi_1-5=\alpha,\xi_2^2=\beta)=\mathbb{P}(\xi_1-5=\alpha)\cdot\mathbb{P}(\xi_2^2=\beta)[/math] [math]\mathbb{P}(\xi_1=\alpha+5,\xi_2=\pm\sqrt{\beta})=\mathbb{P}(\xi_1=\alpha+5)\cdot\mathbb{P}(\xi_2=\pm\sqrt{\beta})[/math] Пусть [math]x_1=\alpha+5[/math], а [math]y_1=\pm\sqrt{\beta}[/math] Но это какая-то ерунда получается... Для непрерывного случая нужно проверить равенство [math]f(\xi_1,\x_2)=f(\xi_1)f(\xi_2)[/math], где [math]f[/math] - плотность непрерывного распределения. |
||
Вернуться к началу | ||
--ms-- |
|
|
never-sleep писал(а): В смысле - что за источник? В смысле, из какого задачника эти задачи. С тройной нумерацией задачников не видела, а по этим задачам уже очень хотелось бы понять, какого уровня строгости ответы требуются, т.е. что какому теоретическому материалу они отвечают. never-sleep писал(а): 10.2.6 Мне кажется, что необязательно. Но аргументировать не могу. Тут нужен контр-пример? На оба пункта ответ "не обязательно"? Вряд ли тут можно приводить контрпримеры. Потому как примером того, что нельзя посчитать матожидание [math]\xi_1^2\sin(\xi_2)[/math], зная частные распределения и зная некоррелированность, может быть только предъявление двух пар случайных величин [math](\xi_1,\xi_2)[/math] и [math](\eta_1,\eta_2)[/math] таких, что распределения [math]\xi_1[/math] и [math]\eta_1[/math] одинаковы, распределения [math]\xi_2[/math] и [math]\eta_2[/math] одинаковы, в обеих парах величины некоррелированы, а матожидания [math]\xi_1^2\sin(\xi_2)[/math] и [math]\eta_1^2\sin(\eta_2)[/math] у них разные. Вряд ли задача стоит такой работы. Наверняка нужен качественный ответ с объяснениями типа: матожидание произведения мы можем посчитать как "[math]\mathsf E(\xi_1\xi_2)=\mathsf E\xi_1\mathsf E\xi_2[/math]", а про [math]\mathsf E\xi_1^2\sin \xi_2[/math] ничего не дано". Но не зная уровня строгости, требуемого в курсе, нельзя ничего определённо сказать о том, какие размахивания руками в воздухе сойдут за обоснования. Смотрите аналогичные решения задач в этом задачнике, если они есть. never-sleep писал(а): [math]\mathbb{P}(\xi_1=\alpha+5,\xi_2=\pm\sqrt{\beta})=\mathbb{P}(\xi_1=\alpha+5)\cdot\mathbb{P}(\xi_2=\pm\sqrt{\beta})[/math] Пусть [math]x_1=\alpha+5[/math], а [math]y_1=\pm\sqrt{\beta}[/math] Но это какая-то ерунда получается... Не так только расписали вероятность про квадрат. Событие [math]\{\xi_2^2=\beta\}[/math] есть объединение двух событий [math]\{\xi_2=\beta\}\cup\{\xi_2=-\beta\}[/math], соответственно вероятности складываются - как слева, так и справа. А почему ерунда-то, что не так? Независимость получена или нет? И что, никакого общего определения независимости не было? Если были только определения для дискретного и абсолютно непрерывного случаев отдельно, эту задачу решить и давать для решения просто нельзя. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю --ms-- "Спасибо" сказали: never-sleep |
||
never-sleep |
|
|
--ms-- писал(а): И что, никакого общего определения независимости не было? Если были только определения для дискретного и абсолютно непрерывного случаев отдельно, эту задачу решить и давать для решения просто нельзя. Было лишь вот такое общее определение: Неужели мы далее будем доказывать следующее равенство [math]\mathbb{P}(\tau_1 <\alpha, \tau_2<\beta)=\mathbb{P}(\tau_1 < \alpha)\cdot \mathbb{P}( \tau_2<\beta)[/math] [math]\mathbb{P}(\xi_1-5<\alpha,\xi_2^2<\beta)=\mathbb{P}(\xi_1-5<\alpha)\cdot\mathbb{P}(\xi_2^2<\beta)[/math] [math]\mathbb{P}(\xi_1<\alpha+5,-\sqrt{\beta}<\xi_2<\sqrt{\beta})=\mathbb{P}(\xi_1<\alpha+5)\cdot \mathbb{P}(-\sqrt{\beta}<\xi_2<\sqrt{\beta})[/math] У нас есть одно ограничение [math]\beta\geqslant 0[/math]. Если бы не оно [math]\tau_1[/math] и [math]\tau_2[/math] были бы независимыми. Или оно не мешает? Последний раз редактировалось never-sleep 17 апр 2012, 14:01, всего редактировалось 8 раз(а). |
||
Вернуться к началу | ||
never-sleep |
|
|
--ms-- писал(а): В смысле, из какого задачника эти задачи. С тройной нумерацией задачников не видела, а по этим задачам уже очень хотелось бы понять, какого уровня строгости ответы требуются, т.е. что какому теоретическому материалу они отвечают. Дело в том, что в свободном доступе такого задачника нет... Могу прислать необходимый теоретический материал, чтобы вы смогли понять уровень строгости... |
||
Вернуться к началу | ||
never-sleep |
|
|
--ms-- писал(а): Не так только расписали вероятность про квадрат. Событие [math]\{\xi_2^2=\beta\}[/math] есть объединение двух событий [math]\{\xi_2=\beta\}\cup\{\xi_2=-\beta\}[/math], соответственно вероятности складываются - как слева, так и справа. А почему ерунда-то, что не так? Независимость получена или нет? Да, действительно, так будет правильно, спасибо. Судя по всему -- получена независимость для дискретных случайных величин, если [math]\beta\geqslant 0[/math], но этого ограничения, опять же, не было в условии задачи.. Последний раз редактировалось never-sleep 17 апр 2012, 13:56, всего редактировалось 1 раз. |
||
Вернуться к началу | ||
never-sleep |
|
|
--ms-- писал(а): На оба пункта ответ "не обязательно"? Вряд ли тут можно приводить контрпримеры. Потому как примером того, что нельзя посчитать матожидание [math]\xi_1^2\sin(\xi_2)[/math], зная частные распределения и зная некоррелированность, может быть только предъявление двух пар случайных величин [math](\xi_1,\xi_2)[/math] и [math](\eta_1,\eta_2)[/math] таких, что распределения [math]\xi_1[/math] и [math]\eta_1[/math] одинаковы, распределения [math]\xi_2[/math] и [math]\eta_2[/math] одинаковы, в обеих парах величины некоррелированы, а матожидания [math]\xi_1^2\sin(\xi_2)[/math] и [math]\eta_1^2\sin(\eta_2)[/math] у них разные. Вряд ли задача стоит такой работы. Наверняка нужен качественный ответ с объяснениями типа: матожидание произведения мы можем посчитать как "[math]\mathsf E(\xi_1\xi_2)=\mathsf E\xi_1\mathsf E\xi_2[/math]", а про [math]\mathsf E\xi_1^2\sin \xi_2[/math] ничего не дано". Но не зная уровня строгости, требуемого в курсе, нельзя ничего определённо сказать о том, какие размахивания руками в воздухе сойдут за обоснования. Смотрите аналогичные решения задач в этом задачнике, если они есть. Только на первый ответ "не обязательно". На второй можно расписать [math]V_{\tau_1\tau_2}[/math] через [math]\xi_1,\xi_2[/math] [math]V_{\tau_1\tau_2}=V_{(\xi_1-5)(\xi_2^2)}=E[(\xi_1-5)(\xi_2^2)]-E[\xi_1-5]E[\xi_2^2]=E[\xi_1\xi_2^2]-E[\xi_1]E[\xi_2^2][/math] Кажется, что эта штука все равно будет нулем, раз [math]E[\xi_1\xi_2]-E[\xi_1]E[\xi_2]=0[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
--ms-- |
|
|
never-sleep писал(а): Неужели мы далее будем доказывать следующее равенство [math]\mathbb{P}(\tau_1 <\alpha, \tau_2<\beta)=\mathbb{P}(\tau_1 < \alpha)\cdot \mathbb{P}( \tau_2<\beta)[/math] [math]\mathbb{P}(\xi_1-5<\alpha,\xi_2^2<\beta)=\mathbb{P}(\xi_1-5<\alpha)\cdot\mathbb{P}(\xi_2^2<\beta)[/math] [math]\mathbb{P}(\xi_1<\alpha+5,-\sqrt{\beta}<\xi_2<\sqrt{\beta})=\mathbb{P}(\xi_1<\alpha+5)\cdot \mathbb{P}(-\sqrt{\beta}<\xi_2<\sqrt{\beta})[/math] У нас есть одно ограничение [math]\beta\geqslant 0[/math]. Если бы не оно [math]\tau_1[/math] и [math]\tau_2[/math] были бы независимыми. Или оно не мешает? А чем оно может мешать? Вам нужно показать верхнее равенство для всех [math]\beta_1[/math] и [math]\beta_2[/math]. Если [math]\beta_2[/math] неположительно, то и слева, и справа нуль, равенство выполнено. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю --ms-- "Спасибо" сказали: never-sleep |
||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 19 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Линейная независимость
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
1 |
208 |
08 мар 2018, 17:44 |
|
Независимость σ-алгебр
в форуме Теория вероятностей |
7 |
593 |
05 мар 2017, 23:52 |
|
Зависимость и независимость
в форуме Дифференциальное исчисление |
4 |
412 |
09 сен 2016, 20:10 |
|
Объединение событий и их независимость
в форуме Теория вероятностей |
4 |
107 |
04 май 2023, 17:27 |
|
Независимость случайных величин
в форуме Теория вероятностей |
0 |
164 |
23 сен 2018, 07:59 |
|
Независимость системы косинусов
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
5 |
271 |
04 июл 2021, 11:32 |
|
Установить независимость событий
в форуме Теория вероятностей |
3 |
393 |
24 окт 2015, 10:32 |
|
Задача на независимость событий
в форуме Теория вероятностей |
1 |
389 |
06 дек 2014, 20:15 |
|
Проверить линейную независимость | 0 |
338 |
17 июн 2014, 22:12 |
|
Как определить линейнозависимость (независимость векторов) ? | 2 |
155 |
03 дек 2019, 21:59 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 43 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |