Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: циркуляция вектора
СообщениеДобавлено: 06 ноя 2011, 18:00 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
06 ноя 2011, 16:10
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Найти циркуляцию вектора [math]\vec{F}=y\vec{i}-x\vec{j}+(x+y)\vec{k}[/math] по контуру

[math]L\colon~z=x^2+(y+a)^2,~by-z+c=0~(a=-4,b=-8,c=32)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: циркуляция вектора
СообщениеДобавлено: 06 ноя 2011, 19:27 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Линия образованная, пересечением параболоида и плоскостиСмотрите чертёж, на котором синяя окружность - проекция линии (эллипса) [math]L[/math] на плоскость [math]Oxy[/math].

Линия [math]L[/math], образованная пересечением параболоида [math]z=x^2+(y-4)^2[/math] и плоскости [math]z=32-8y[/math], есть эллипс; найдём его проекцию на плоскость [math]Oxy[/math]:

[math]\begin{cases}z=x^2+(y - 4)^2,\\z = 32 - 8y\end{cases}\!\!\Rightarrow~ x^2 + (y - 4)^2= 32 - 8y~ \Leftrightarrow~x^2+y^2=16.[/math]

Итак, проекцией линии [math]L[/math] на плоскость [math]Oxy[/math] является окружность [math]x^2+y^2=16[/math] с радиусом 4 и центром в начале координат [math](0;0)[/math], параметрическое уравнение которой

[math]\begin{cases}x = 4\cos t,\\y = 4\sin t,\\ \end{cases}t\in[0;2\pi].[/math] Тогда из уравнения плоскости эллипса находим

[math]z = 32 - 8y = 32 - 8 \cdot 4\sin t = 32(1 - \sin t)[/math].

Таким образом, параметрическое уравнение линии [math]L[/math] есть

[math]\begin{cases}x = 4\cos t,\\y = 4\sin t,\\z = 32(1 - \sin t),\end{cases}\!\!t\in[0;2\pi][/math], следовательно, [math]\begin{cases}dx=-4\sin t\,dt, \hfill \\dy=4\cos t\,dt,\\dz=-32\cos t\,dt.\end{cases}[/math]

Итак, вычислим искомую циркуляцию [math]C[/math] векторного поля [math]\overrightarrow{F}[/math] по контуру [math]L[/math]:

[math]\begin{aligned}C&=\oint\limits_L {P\,dx+Q\,dy+R\,dz}= \oint\limits_L {y\,dx - x\,dy + (x + y)\,dz}=\\[3pt] &=\int\limits_0^{2\pi}\Bigl[4\sin t \cdot(-4\sin t)-4\cos t \cdot 4\cos t + (4\cos t + 4\sin t)(-32\cos t)\Bigr]dt=\\[3pt] &=\int\limits_0^{2\pi}\Bigl(-16\sin^2t - 16\cos^2t - 128\cos^2t - 128\sin t\cos t\Bigr)dt=\\[3pt] &=-16\int\limits_0^{2\pi}\Bigl(1 + 8\cos^2t + 8\sin t\cos t\Bigr)dt= -16\int\limits_0^{2\pi}\!\left(1 + 8 \cdot \frac{1 + \cos 2t}{2} + 4\sin 2t\right)\!dt=\\[3pt] &=-16\int\limits_0^{2\pi}\Bigl(5 + 4\cos 2t + 4\sin 2t\Bigr)dt= \left. {-16\Bigl(5t + 2\sin 2t - 2\cos 2t\Bigr)}\right|_0^{2\pi}=\\[3pt] &=-16[10\pi+0-2-(0 + 0 - 2)]=-160\pi\end{aligned}[/math]

Проверьте расчёты.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
mad_math, nrg98
 Заголовок сообщения: Re: циркуляция вектора
СообщениеДобавлено: 06 ноя 2011, 20:24 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
06 ноя 2011, 16:10
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо, я смысл понял если что исправлю.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: циркуляция вектора
СообщениеДобавлено: 06 ноя 2011, 20:30 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
nrg98

Если найдёте ошибку, напишите (себя проверю).

Я проверил все расчёты в Maple 15 - всё верно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
nrg98
 Заголовок сообщения: Re: циркуляция вектора
СообщениеДобавлено: 06 ноя 2011, 20:37 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
06 ноя 2011, 16:10
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexdemath писал(а):
Я проверил все расчёты в Maple 15 - всё верно.

Спасибо

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Циркуляция вектора

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Loran

1

496

11 дек 2017, 21:46

Циркуляция вектора по контуру

в форуме Векторный анализ и Теория поля

alexnv97

6

714

01 дек 2016, 00:18

Циркуляция вектора магнитной индукции по кругу

в форуме Электричество и Магнетизм

Romka74

3

1293

10 янв 2015, 21:15

Вычислить координаты вектора относительно базиса вектора

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Camilla1910

1

566

11 ноя 2014, 22:18

Проекция вектора на направление вектора?

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

32423fsdf

2

90

22 ноя 2023, 22:18

Циркуляция

в форуме Интегральное исчисление

Shells

26

1251

05 янв 2015, 18:46

Циркуляция поля

в форуме Векторный анализ и Теория поля

honey

2

285

23 апр 2020, 21:38

Циркуляция поля

в форуме Интегральное исчисление

Julia1306

1

114

10 май 2023, 10:44

Циркуляция векторного поля

в форуме Векторный анализ и Теория поля

sdsdf

1

783

29 окт 2015, 17:46

Циркуляция векторного поля

в форуме Векторный анализ и Теория поля

uncleS4m

3

584

10 ноя 2017, 11:50


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved