Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 5 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
nrg98 |
|
|
[math]L\colon~z=x^2+(y+a)^2,~by-z+c=0~(a=-4,b=-8,c=32)[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Alexdemath |
|
|
Смотрите чертёж, на котором синяя окружность - проекция линии (эллипса) [math]L[/math] на плоскость [math]Oxy[/math].
Линия [math]L[/math], образованная пересечением параболоида [math]z=x^2+(y-4)^2[/math] и плоскости [math]z=32-8y[/math], есть эллипс; найдём его проекцию на плоскость [math]Oxy[/math]: [math]\begin{cases}z=x^2+(y - 4)^2,\\z = 32 - 8y\end{cases}\!\!\Rightarrow~ x^2 + (y - 4)^2= 32 - 8y~ \Leftrightarrow~x^2+y^2=16.[/math] Итак, проекцией линии [math]L[/math] на плоскость [math]Oxy[/math] является окружность [math]x^2+y^2=16[/math] с радиусом 4 и центром в начале координат [math](0;0)[/math], параметрическое уравнение которой [math]\begin{cases}x = 4\cos t,\\y = 4\sin t,\\ \end{cases}t\in[0;2\pi].[/math] Тогда из уравнения плоскости эллипса находим [math]z = 32 - 8y = 32 - 8 \cdot 4\sin t = 32(1 - \sin t)[/math]. Таким образом, параметрическое уравнение линии [math]L[/math] есть [math]\begin{cases}x = 4\cos t,\\y = 4\sin t,\\z = 32(1 - \sin t),\end{cases}\!\!t\in[0;2\pi][/math], следовательно, [math]\begin{cases}dx=-4\sin t\,dt, \hfill \\dy=4\cos t\,dt,\\dz=-32\cos t\,dt.\end{cases}[/math] Итак, вычислим искомую циркуляцию [math]C[/math] векторного поля [math]\overrightarrow{F}[/math] по контуру [math]L[/math]: [math]\begin{aligned}C&=\oint\limits_L {P\,dx+Q\,dy+R\,dz}= \oint\limits_L {y\,dx - x\,dy + (x + y)\,dz}=\\[3pt] &=\int\limits_0^{2\pi}\Bigl[4\sin t \cdot(-4\sin t)-4\cos t \cdot 4\cos t + (4\cos t + 4\sin t)(-32\cos t)\Bigr]dt=\\[3pt] &=\int\limits_0^{2\pi}\Bigl(-16\sin^2t - 16\cos^2t - 128\cos^2t - 128\sin t\cos t\Bigr)dt=\\[3pt] &=-16\int\limits_0^{2\pi}\Bigl(1 + 8\cos^2t + 8\sin t\cos t\Bigr)dt= -16\int\limits_0^{2\pi}\!\left(1 + 8 \cdot \frac{1 + \cos 2t}{2} + 4\sin 2t\right)\!dt=\\[3pt] &=-16\int\limits_0^{2\pi}\Bigl(5 + 4\cos 2t + 4\sin 2t\Bigr)dt= \left. {-16\Bigl(5t + 2\sin 2t - 2\cos 2t\Bigr)}\right|_0^{2\pi}=\\[3pt] &=-16[10\pi+0-2-(0 + 0 - 2)]=-160\pi\end{aligned}[/math] Проверьте расчёты. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали: mad_math, nrg98 |
||
nrg98 |
|
|
Спасибо, я смысл понял если что исправлю.
|
||
Вернуться к началу | ||
Alexdemath |
|
|
nrg98
Если найдёте ошибку, напишите (себя проверю). Я проверил все расчёты в Maple 15 - всё верно. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали: nrg98 |
||
nrg98 |
|
|
Alexdemath писал(а): Я проверил все расчёты в Maple 15 - всё верно. Спасибо |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 5 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Циркуляция вектора
в форуме Векторный анализ и Теория поля |
1 |
496 |
11 дек 2017, 21:46 |
|
Циркуляция вектора по контуру
в форуме Векторный анализ и Теория поля |
6 |
714 |
01 дек 2016, 00:18 |
|
Циркуляция вектора магнитной индукции по кругу
в форуме Электричество и Магнетизм |
3 |
1293 |
10 янв 2015, 21:15 |
|
Вычислить координаты вектора относительно базиса вектора | 1 |
566 |
11 ноя 2014, 22:18 |
|
Проекция вектора на направление вектора? | 2 |
90 |
22 ноя 2023, 22:18 |
|
Циркуляция
в форуме Интегральное исчисление |
26 |
1251 |
05 янв 2015, 18:46 |
|
Циркуляция поля
в форуме Векторный анализ и Теория поля |
2 |
285 |
23 апр 2020, 21:38 |
|
Циркуляция поля
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
114 |
10 май 2023, 10:44 |
|
Циркуляция векторного поля
в форуме Векторный анализ и Теория поля |
1 |
783 |
29 окт 2015, 17:46 |
|
Циркуляция векторного поля
в форуме Векторный анализ и Теория поля |
3 |
584 |
10 ноя 2017, 11:50 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |