Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Показать, что векторное поле потенциально и найти потенциал
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=35&t=7440
Страница 1 из 1

Автор:  artem92 [ 27 авг 2011, 14:43 ]
Заголовок сообщения:  Показать, что векторное поле потенциально и найти потенциал

Позарез надо решение

Показать, что векторное поле [math]\vec{a}=\frac{2x(1-e^y)}{(1+x^2)^2}\,\vec{i} + \frac{e^y}{1+x^2}\,\vec{j}[/math] потенциально и найти его потенциал.

Заранее огромное спасибо.

Автор:  Alexdemath [ 27 авг 2011, 14:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Показать, что векторное поле потенциально и найти потенциал

artem92 писал(а):
Позарез надо решение
Показать, что векторное поле [math]\vec{a}=\frac{2x(1-e^y)}{(1+x^2)^2}\,\vec{i} + \frac{e^y}{1+x^2}\,\vec{j}[/math] потенциально и найти его потенциал.
Заранее огромное спасибо.

Условием потенциальности векторного поля является равенство его ротора нулю

[math]\begin{aligned}\mathbf{rot}\,\vec{a}& = \left(\frac{\partial a_z}{\partial y} - \frac{\partial a_y}{\partial z}\right)\vec i + \left(\frac{\partial a_x}{\partial z} - \frac{\partial a_z}{\partial x} \right)\vec j + \left(\frac{\partial a_y}{\partial x} - \frac{\partial a_x}{\partial y} \right)\vec k=\\ &= \left(\frac{\partial }{\partial y}\,0 - \frac{\partial }{\partial z}\frac{e^y}{1 + x^2} \right)\vec i + \left(\frac{\partial }{\partial z}\frac{2x(1-e^y)}{(1+x^2)^2} - \frac{\partial }{\partial x}\,0\right)\vec j + \left(\frac{\partial }{\partial x}\frac{e^y}{1 + x^2} - \frac{\partial}{\partial y}\frac{2x(1 -e^y)}{(1+x^2)^2}\right)\vec{k}=\\ &= 0 + 0 + \left(- \frac{2xe^y}{(1 + x^2)^2} - \frac{-2xe^y}{(1+x^2)^2}\right)\vec{k}=0\end{aligned}[/math]

Потенциал векторного поля вычислим по формуле

[math]{\color{red}\boxed{{\color{black}u(x,y,z)=\int\limits_{x_0}^{x}a_x(x,y_0,z_0)\,dx+\int\limits_{y_0}^{y}a_y(x,y,z_0)\,dy+\int\limits_{z_0}^{z}a_z(x,y,z)\,dz+C}}}[/math]

Поскольку функции [math]a_x,\,a_y[/math] и [math]a_z[/math] непрерывны во всех точках пространства, то, выбрав в качестве начальной точки пути интегрирования точку [math]M_0=(0;0;0)[/math], будем иметь

[math]u(x,y,z)= \int\limits_0^x\frac{2t(1-e^0)}{(1+t^2)^2}\,dt+ \int\limits_0^y\frac{e^t}{1+x^2}\,dt+ \int\limits_0^z 0\,dt+C= \left.{\frac{e^t}{1+x^2}}\right|_{t=0}^{t=y}+C= \frac{e^y-1}{1+x^2}+C[/math]

Автор:  maxfar [ 03 янв 2017, 23:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Показать, что векторное поле потенциально и найти потенциал

Изображение


Заранее благодарен.

Автор:  slava_psk [ 06 янв 2017, 08:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Показать, что векторное поле потенциально и найти потенциал

maxfar
Есть же детально рассмотренный пример.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/