Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Показать, что векторное поле потенциально и найти потенциал
СообщениеДобавлено: 27 авг 2011, 15:43 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 авг 2011, 18:56
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Позарез надо решение

Показать, что векторное поле [math]\vec{a}=\frac{2x(1-e^y)}{(1+x^2)^2}\,\vec{i} + \frac{e^y}{1+x^2}\,\vec{j}[/math] потенциально и найти его потенциал.

Заранее огромное спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Показать, что векторное поле потенциально и найти потенциал
СообщениеДобавлено: 27 авг 2011, 15:44 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 23:52
Сообщений: 5946
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 3211
Спасибо получено:
3073 раз в 2246 сообщениях
Очков репутации: 650

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
artem92 писал(а):
Позарез надо решение
Показать, что векторное поле [math]\vec{a}=\frac{2x(1-e^y)}{(1+x^2)^2}\,\vec{i} + \frac{e^y}{1+x^2}\,\vec{j}[/math] потенциально и найти его потенциал.
Заранее огромное спасибо.

Условием потенциальности векторного поля является равенство его ротора нулю

[math]\begin{aligned}\mathbf{rot}\,\vec{a}& = \left(\frac{\partial a_z}{\partial y} - \frac{\partial a_y}{\partial z}\right)\vec i + \left(\frac{\partial a_x}{\partial z} - \frac{\partial a_z}{\partial x} \right)\vec j + \left(\frac{\partial a_y}{\partial x} - \frac{\partial a_x}{\partial y} \right)\vec k=\\ &= \left(\frac{\partial }{\partial y}\,0 - \frac{\partial }{\partial z}\frac{e^y}{1 + x^2} \right)\vec i + \left(\frac{\partial }{\partial z}\frac{2x(1-e^y)}{(1+x^2)^2} - \frac{\partial }{\partial x}\,0\right)\vec j + \left(\frac{\partial }{\partial x}\frac{e^y}{1 + x^2} - \frac{\partial}{\partial y}\frac{2x(1 -e^y)}{(1+x^2)^2}\right)\vec{k}=\\ &= 0 + 0 + \left(- \frac{2xe^y}{(1 + x^2)^2} - \frac{-2xe^y}{(1+x^2)^2}\right)\vec{k}=0\end{aligned}[/math]

Потенциал векторного поля вычислим по формуле

[math]{\color{red}\boxed{{\color{black}u(x,y,z)=\int\limits_{x_0}^{x}a_x(x,y_0,z_0)\,dx+\int\limits_{y_0}^{y}a_y(x,y,z_0)\,dy+\int\limits_{z_0}^{z}a_z(x,y,z)\,dz+C}}}[/math]

Поскольку функции [math]a_x,\,a_y[/math] и [math]a_z[/math] непрерывны во всех точках пространства, то, выбрав в качестве начальной точки пути интегрирования точку [math]M_0=(0;0;0)[/math], будем иметь

[math]u(x,y,z)= \int\limits_0^x\frac{2t(1-e^0)}{(1+t^2)^2}\,dt+ \int\limits_0^y\frac{e^t}{1+x^2}\,dt+ \int\limits_0^z 0\,dt+C= \left.{\frac{e^t}{1+x^2}}\right|_{t=0}^{t=y}+C= \frac{e^y-1}{1+x^2}+C[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Показать, что векторное поле потенциально и найти потенциал
СообщениеДобавлено: 04 янв 2017, 00:31 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 янв 2017, 00:22
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение


Заранее благодарен.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Показать, что векторное поле потенциально и найти потенциал
СообщениеДобавлено: 06 янв 2017, 09:52 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 апр 2016, 14:40
Сообщений: 368
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
73 раз в 73 сообщениях
Очков репутации: 12

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
maxfar
Есть же детально рассмотренный пример.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Показать, что векторное поле потенциально и найти потенциал

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Lionew

1

581

26 май 2015, 18:46

Если векторное поле потенциально, найти его потенциал

в форуме Векторный анализ и Теория поля

ti_mka

3

1140

25 окт 2013, 00:24

Потенциально ли поле?

в форуме Векторный анализ и Теория поля

asker

10

783

13 ноя 2013, 23:42

Дано векторное поле.Найти дифференц. операции 2 порядка

в форуме Векторный анализ и Теория поля

partee3an

0

248

23 янв 2014, 13:26

Векторное поле

в форуме Векторный анализ и Теория поля

milena

1

400

24 апр 2013, 11:03

Векторное поле

в форуме Векторный анализ и Теория поля

photographer

1

285

30 мар 2015, 01:11

Классифицировать векторное поле

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Daftastic

8

493

11 янв 2014, 22:37

Теория поля. Векторное поле

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Leniza

32

366

12 май 2017, 22:22

Проверить является ли векторное поле потенциальным

в форуме Векторный анализ и Теория поля

ubuntu222

1

984

24 ноя 2011, 20:26

Показать что электромагнитное поле H=2J/R^2(-yi+xi)

в форуме Векторный анализ и Теория поля

xisma93

1

244

14 апр 2015, 22:29


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved