Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Поток векторного поля
СообщениеДобавлено: 18 мар 2020, 00:51 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 мар 2020, 00:39
Сообщений: 8
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Мне нужно найти поток векторного поля через поверхность с помощью поверхностного интеграла 2 рода:

[math]z=1-\sqrt{x^{2}+y^{2} }[/math]
[math]y=0[/math]
[math]z=0[/math]
[math]\vec{a} =2\vec{i}+y\vec{j}[/math]

Как я понимаю, мне нужно решить 2 интеграла:

проекция на [math]dydz[/math] и [math]dxdz[/math]

и я не могу решить [math]dxdz[/math]

Как решаю:

выражаю [math]y[/math]

[math]y=\sqrt{(z-1)^{2}-x^{2} }[/math]

и подставляю в интеграл:

[math]\int\limits_{0}^{1}dx[/math][math]\int\limits_{0}^{x-1}ydx[/math]

[math]\int\limits_{0}^{1}dx[/math][math]\int\limits_{0}^{x-1}\sqrt{(z-1)^{2}-x^{2}}dx[/math]

и дальше я не знаю как решить этот интеграл. Пробовал полярные координаты, но ничего не получилось

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поток векторного поля
СообщениеДобавлено: 18 мар 2020, 09:35 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 апр 2016, 13:40
Сообщений: 1553
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
287 раз в 280 сообщениях
Очков репутации: 69

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Поверхность - это часть конуса с вершиной в точке (0,0,1)
Находим нормаль к поверхности: [math]\vec{N}=\left(-\frac{\partial z}{\partial x} , -\frac{\partial z}{\partial y},1\right)[/math].
Единичная нормаль:[math]\vec{n} =\left( \frac{ x }{\sqrt{2x^{2}+2y^{2} } },\frac{ y }{\sqrt{2x^{2}+2y^{2} } },\frac{ 1 }{\sqrt{2} } \right)[/math]
Боковая поверхность конуса: [math]\vec{a}\vec{n}=\frac{ 2x }{\sqrt{2x^{2}+2y^{2} } } +\frac{ y^{2} }{\sqrt{2x^{2}+2y^{2} } }[/math]
Проекция боковой поверхности на плоскость х0у: [math]ds_{xy}=dxdy = \frac{ ds }{ \sqrt{2} }[/math]
Поток через боковую поверхность, переходя к полярным координатам: [math]\Phi _{1} = \int\limits_{S_{xy} } \vec{a}\vec{n}ds=\int\limits_{0}^{ \pi }d \varphi \int\limits_{0}^{1}\left( 2rcos \varphi +r^{2}sin^{2}\varphi \right)dr=\frac{ \pi }{ 6 }[/math]
Для поверхности у=0 [math]\vec{n}=-\vec{i}[/math] [math]\Phi _{2}=-1[/math]
Для поверхности z=0 [math]\vec{n}=-\vec{k}[/math] - поток равен 0

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поток векторного поля
СообщениеДобавлено: 18 мар 2020, 14:36 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 мар 2020, 00:39
Сообщений: 8
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как я понимаю, вы нашли поток векторного поля через поверхностный интеграл 1 рода, а мне нужно через поверхностный интеграл 2 рода

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поток векторного поля
СообщениеДобавлено: 18 мар 2020, 14:45 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 апр 2016, 13:40
Сообщений: 1553
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
287 раз в 280 сообщениях
Очков репутации: 69

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
AzerotKKL, вы не правильно поняли.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поток векторного поля
СообщениеДобавлено: 18 мар 2020, 14:54 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 мар 2020, 00:39
Сообщений: 8
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Тогда я не очень понимаю откуда в решении берутся еденичные векторы нормали. Просто когда я решал поверхностный интегралы 2 рода они могли появиться только когда я сводил интеграл 2 рода к интегралу 1 рода

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поток векторного поля
СообщениеДобавлено: 18 мар 2020, 15:02 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 апр 2016, 13:40
Сообщений: 1553
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
287 раз в 280 сообщениях
Очков репутации: 69

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А что такое поток вектора по определению?
Ошибся при вычислении потока через плоскость x0z (y=0). Здесь будет [math]\vec{n}=-\vec{j}[/math], поэтому поток [math]\Phi =\iint\limits_{ S_{xz} }\vec{a}\vec{n}dxdz=-\iint\limits_{ S_{xz} }ydxdz=0[/math]
Когда правильно запишите интегралы потоков через поверхности области и спроецируете их на координатные плоскости и получаются интегралы 2-го рода.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поток векторного поля
СообщениеДобавлено: 18 мар 2020, 15:06 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 мар 2020, 00:39
Сообщений: 8
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как я понимаю:

У нас есть интегралы 1 рода:

[math]\iint\limits_{ \sigma }P\cos{ \alpha }dS[/math]

[math]\iint\limits_{ \sigma }Q\cos{ \beta }dS[/math]

[math]\iint\limits_{ \sigma }R\cos{ \gamma }dS[/math]

это тоже самое что интегралы 2 рода:


[math]\iint\limits_{ \sigma }Pdydz[/math]

[math]\iint\limits_{ \sigma }Qdxdz[/math]

[math]\iint\limits_{ \sigma }Rdxdy[/math]

совокупность интегралов первого рода можно представить как скалярное произведение

[math]\vec{F}(P,Q,R)[/math] и [math]\vec{n}( \cos{ \alpha },\cos{ \beta },\cos{ \gamma })[/math]

у нас есть

[math]\vec{a} =2\vec{i}+y\vec{j}[/math]

В интегралах первого рода:

[math]\iint\limits_{ \sigma } 2\cos{ \alpha }+y\cos{ \beta }dS[/math]

и переводя в интегралы 2 рода:

[math]\iint\limits_{ \sigma } 2dydz+ydxdz[/math]

разве нет?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поток векторного поля
СообщениеДобавлено: 18 мар 2020, 15:31 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 апр 2016, 13:40
Сообщений: 1553
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
287 раз в 280 сообщениях
Очков репутации: 69

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Например, [math]dydz=dS*cos \alpha[/math] . Но [math]= cos\alpha=f(x,y)[/math], его нужно сначала найти. Поэтому последний интеграл не верен. Вы предлагаете проецировать боковую поверхность конуса на плоскость y0z, так конечно можно, но нужно найти наклон нормали, т.е. [math]cos\alpha=f(x,y)[/math]. Но проще то было бы спроецировать на плоскость х0у, поскольку конус, то [math]cos \gamma =\frac{ 1 }{ \sqrt{2} }-const[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поток векторного поля
СообщениеДобавлено: 18 мар 2020, 16:03 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 мар 2020, 00:39
Сообщений: 8
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
slava_psk писал(а):
Например, [math]dydz=dS*cos \alpha[/math] . Но [math]= cos\alpha=f(x,y)[/math], его нужно сначала найти. Поэтому последний интеграл не верен. Вы предлагаете проецировать боковую поверхность конуса на плоскость y0z, так конечно можно, но нужно найти наклон нормали, т.е. [math]cos\alpha=f(x,y)[/math]. Но проще то было бы спроецировать на плоскость х0у, поскольку конус, то [math]cos \gamma =\frac{ 1 }{ \sqrt{2} }-const[/math]



Пойду перечитаю теорию еще раз. Просто проблема в том, что мне нужно найти поток векторного поля через поверхностный интеграл 1 рода и 2 рода. Я нашел через поверхностный интеграл 1 рода и решению полностью совпадает с вашим ( которое вы написала в 1 сообщении) а про решение 2 рода вы еще больше меня запутали.

Раньше я решал так.

У меня была поверхность

[math]Pdydz+Qdydz+Rdxdy[/math]

Я проецировал [math]Pdydz[/math] на ось YZ. Смотрел угол нормали к оси OX больше [math]\frac{ \pi }{ 2 }[/math] и зависимости от этого решал интеграл с определ знаком:

[math]\pm \mathop{{\int\!\!\!\!\int}\mkern-22.9mu \bigcirc}\limits_{ \sigma } Pdydz[/math]

дальше смотрел на проекцию, находил ее границы и сводил интеграл к повторному интегралу.

Косинусы и синусы в этом методе у меня вообще не фигурировали. Так что я до сих пор не могу понять.

А в [math]\vec{a} =2\vec{i}+y\vec{j}[/math] нет орта [math]\vec{k}[/math] следовательно я вообще не понимаю как его можно проецировать на ось XOY

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поток векторного поля
СообщениеДобавлено: 18 мар 2020, 16:16 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 апр 2016, 13:40
Сообщений: 1553
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
287 раз в 280 сообщениях
Очков репутации: 69

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
На плоскость х0у вы проецируете не вектор а площадку ds. [math]dxdy=dS*cos \gamma[/math]. Так же в отношении dxdz, dydz. Скалярное произведение для боковой поверхности по любому будет: [math]\vec{a}\vec{n} =2cos \alpha +ycos \beta[/math]. [math]cos \alpha, cos \beta[/math] это составляющие единичной нормали к поверхности. Представьте себе нормаль к боковой поверхности конуса, это вектор разнонаправлен в разных точках поверхности, т.е. функция от x,y,z. Мой совет старайтесь подходить не формально, а представлять физический смысл.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 16 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Работа веркторного поля+поток векторного поля+циркуляция век

в форуме Векторный анализ и Теория поля

VanTuz

9

1129

16 янв 2012, 10:41

Вычислить поток векторного поля (Теория поля)

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Artyr95

1

946

27 май 2014, 07:24

Вычислить поток векторного поля (Теория поля)

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Marina11111

1

322

01 фев 2020, 14:34

Поток векторного поля

в форуме Интегральное исчисление

RikkiTan1

0

294

06 май 2015, 18:33

Поток векторного поля

в форуме Векторный анализ и Теория поля

meow22

2

228

21 май 2017, 21:28

Поток векторного поля

в форуме Векторный анализ и Теория поля

darkyn

3

277

02 янв 2019, 16:02

Поток векторного поля

в форуме Интегральное исчисление

MAKSUS_87

0

260

20 май 2014, 20:45

поток векторного поля

в форуме Векторный анализ и Теория поля

maxim-turaev

11

1195

20 сен 2011, 13:14

Поток векторного поля

в форуме Векторный анализ и Теория поля

matanbol

0

201

15 май 2017, 14:14

Поток векторного поля

в форуме Векторный анализ и Теория поля

fenix0093

1

654

14 янв 2013, 13:30


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved