Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
haykaz1898 |
|
|
Найти поток поля a через ориентированную нормалью n поверзность S (r = xi+yj+zk, r =|r|) a = (x,y,xyz). S - часть внешней стороны цилиндра [math]^{x^2+y^2=R^2}[/math], расположенная в области x > |y| и отсеченная плоскостью z = 0 и параболоидом [math]^{z = x^2 - y^2}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
slava_psk |
|
|
haykaz1898
Вы не ошиблись там точно минус z=x^2-y^2? |
||
Вернуться к началу | ||
slava_psk |
|
|
Цилиндр пересекается гиперболическим параболоидом и плоскостью z=0. В сечении боковой поверхности цилиндра получится криволинейный треугольник с вершиной в точке (R,0,R^2). Это следует из уравнения гиперболоида. При у=0 и х=R^2 z=R^2. Задачу удобнее решать в цилиндрических координатах. Элемент поверхности [math]dS=Rd \varphi dz[/math]. Нормаль к боковой поверхности цилиндра будет [math]\vec{i_{r} }[/math]. Для интегрирования по вырезанной области поверхности z будет изменяться от 0 до R^2, [math]\varphi[/math]. Уравнение линии пересечения цилиндра гиперболоидом найдем переходя к цилиндрическим координатам: [math]z=x^{2}-y^{2}=R^{2}\left( cos^{2} \varphi-sin^{2} \varphi \right)=R^{2}\frac{ 1 }{ 2 }cos2 \varphi[/math]. Откуда [math]\varphi =\frac{ 1 }{ 2 }arccos\frac{ z }{ R^{2} }[/math]. Запишем вектор [math]\vec{a}[/math] в цилиндрических координатах. [math]\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}+xyz\vec{k}=rcos \varphi\left( cos \varphi \vec{i_{r} }-sin \varphi \vec{i_{ \varphi} } \right)+rsin \varphi\left(sin \varphi \vec{i_{r} }+cos \varphi \vec{i_{ \varphi r} } \right)+zR^{2}cos \varphi sin \varphi\vec{i_{z} }[/math]
При скалярном произведении этого вектора на единичный вектор нормали [math]\vec{n}=\vec{i_{r} }[/math] получим: [math]\vec{a} \vec{n}=r[/math]. Находим поток интегрированием по вырезанной поверхности: [math]\Phi=\iint\limits_{ S }\vec{a} \vec{n}ds=R^{2}\int\limits_{0}^{R^{2}}dz\int\limits_{-\frac{ 1 }{ 2 } arcos \frac{ z }{ R^{2} } }^{\frac{ 1 }{ 2 } arcos\frac{ z }{ R^{2} }}d \varphi =R^{3}\left( R-\sqrt{R^{2}-1} \right)[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю slava_psk "Спасибо" сказали: haykaz1898 |
||
haykaz1898 |
|
|
Спасибо вам огромное. Вы очередной раз мне очень сильно помогли))
|
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 4 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |