Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
AnnaNas |
|
||
равны |
|||
Вернуться к началу | |||
slava_psk |
|
||
Поскольку область сферическая, то интегралы удобнее считать в сферических, полярных координатах.
1. Находим [math]div\vec{a}=2-z^{2}-y^{2}=2-r^{2}cos^{2} \theta -r^{2}sin^{2} \theta sin^{2} \varphi[/math] Интегрируем по объему в сферических координатах: [math]\iiint\limits_{ D }div\vec{a}dV=\int\limits_{0}^{2 \pi }d \varphi \int\limits_{0}^{\frac{ \pi }{ 2 } }d \theta \int\limits_{0}^{1}\left( 2-r^{2}cos^{2} \theta -r^{2}sin^{2} \theta sin^{2} \varphi \right)r^{2} sin \theta dr[/math] Этот интеграл распадается на два. Первый c 2-ой даст объем шара, т.е. [math]\frac{ 4 \pi }{ 3 }[/math], второй =0. Т.е. поток по первому интегралу по объему будет равен объему шара [math]\frac{ 4 \pi }{ 3 }[/math] 2. Элеметарная площадка на сфере найдется из [math]dS=\frac{ dxdy }{ cos \alpha }= \frac{ dxdy }{ \frac{ z }{ R } }=\frac{ dxdy }{\sqrt{1-x^{2}-y^{2} } }[/math] Нормальный единичный вектор поверхности [math]z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2} }[/math] [math]\vec{n}=\left( \frac{ z_{x}^{'} }{ \left| \vec{N} \right| },\frac{ z_{y}^{'} }{ \left| \vec{N} \right| },-\frac{1 }{ \left| \vec{N} \right| } \right)=\left( x,y,-z \right)[/math] [math]\vec{N} =\left(z_{x}^{'}, z_{y}^{'},-1 \right)= \left( \frac{ x }{ \sqrt{1-x^{2}-y^{2}} },\frac{ y }{ \sqrt{1-x^{2}-y^{2}} },-\frac{ 1 }{ \sqrt{1-x^{2}-y^{2}} } \right)[/math] -не нормированный вектор нормали. Записываем интеграл по поверхности и переходим к полярным координатам: [math]\iint\limits_{ S }\left( \vec{a}\vec{n} \right) ds=\iint\limits_{ S }\frac{ (2x^{2}-xy)dxdy }{ \sqrt{1-x^{2}-y^{2}} }=\int\limits_{0}^{2 \pi }(2cos^{2} \varphi -sin \varphi cos \varphi )d \varphi \int\limits_{0}^{1} \frac{ r^{3} dr }{ \sqrt{1-r^{2} } }=\frac{ 4 \pi }{ 3 }[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
За это сообщение пользователю slava_psk "Спасибо" сказали: AnnaNas |
|||
AnnaNas |
|
||
slava_psk
Почему мы берём интеграл от 0 до π/2 (dθ), а не просто до π? |
|||
Вернуться к началу | |||
slava_psk |
|
|
AnnaNas писал(а): slava_psk Почему мы берём интеграл от 0 до π/2 (dθ), а не просто до π? На рисунке у вас верхняя полусфера, поэтому так. В сферических координатах [math]0\leqslant \theta \leqslant \pi[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю slava_psk "Спасибо" сказали: AnnaNas |
||
[ Сообщений: 4 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Теорема Гаусса-Остроградского
в форуме Векторный анализ и Теория поля |
0 |
308 |
23 фев 2023, 21:36 |
|
Формула Остроградского-Гаусса
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
282 |
04 дек 2017, 16:24 |
|
Формула Остроградского-Гаусса
в форуме Векторный анализ и Теория поля |
6 |
234 |
22 июн 2022, 10:55 |
|
С помощью формулы Гаусса-Остроградского найти
в форуме Векторный анализ и Теория поля |
1 |
418 |
20 дек 2017, 16:21 |
|
С помощью теоремы Гаусса-Остроградского вычислить интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
243 |
14 июн 2023, 01:23 |
|
Теорема Гаусса
в форуме Электричество и Магнетизм |
24 |
362 |
09 сен 2022, 22:26 |
|
Теорема Остоградского-Гаусса
в форуме Векторный анализ и Теория поля |
2 |
374 |
01 июн 2016, 17:53 |
|
Метод Остроградского
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
312 |
24 май 2017, 00:11 |
|
Формула Остроградского
в форуме Векторный анализ и Теория поля |
12 |
793 |
05 ноя 2018, 16:01 |
|
Формула Остроградского-Грина
в форуме Векторный анализ и Теория поля |
0 |
268 |
08 дек 2019, 16:18 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 14 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |