Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Теорема Остроградского-Гаусса
СообщениеДобавлено: 08 дек 2017, 00:49 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
08 дек 2017, 00:27
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нужно посчитать теорему по двум формулам и показать, что обе части
равны

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Теорема Остроградского-Гаусса
СообщениеДобавлено: 08 дек 2017, 16:57 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 апр 2016, 14:40
Сообщений: 790
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
157 раз в 154 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Поскольку область сферическая, то интегралы удобнее считать в сферических, полярных координатах.

1. Находим [math]div\vec{a}=2-z^{2}-y^{2}=2-r^{2}cos^{2} \theta -r^{2}sin^{2} \theta sin^{2} \varphi[/math]

Интегрируем по объему в сферических координатах:
[math]\iiint\limits_{ D }div\vec{a}dV=\int\limits_{0}^{2 \pi }d \varphi \int\limits_{0}^{\frac{ \pi }{ 2 } }d \theta \int\limits_{0}^{1}\left( 2-r^{2}cos^{2} \theta -r^{2}sin^{2} \theta sin^{2} \varphi \right)r^{2} sin \theta dr[/math]
Этот интеграл распадается на два. Первый c 2-ой даст объем шара, т.е. [math]\frac{ 4 \pi }{ 3 }[/math], второй =0. Т.е. поток по первому интегралу по объему будет равен объему шара [math]\frac{ 4 \pi }{ 3 }[/math]

2. Элеметарная площадка на сфере найдется из [math]dS=\frac{ dxdy }{ cos \alpha }= \frac{ dxdy }{ \frac{ z }{ R } }=\frac{ dxdy }{\sqrt{1-x^{2}-y^{2} } }[/math]
Нормальный единичный вектор поверхности [math]z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2} }[/math]
[math]\vec{n}=\left( \frac{ z_{x}^{'} }{ \left| \vec{N} \right| },\frac{ z_{y}^{'} }{ \left| \vec{N} \right| },-\frac{1 }{ \left| \vec{N} \right| } \right)=\left( x,y,-z \right)[/math]

[math]\vec{N} =\left(z_{x}^{'}, z_{y}^{'},-1 \right)= \left( \frac{ x }{ \sqrt{1-x^{2}-y^{2}} },\frac{ y }{ \sqrt{1-x^{2}-y^{2}} },-\frac{ 1 }{ \sqrt{1-x^{2}-y^{2}} } \right)[/math] -не нормированный вектор нормали.

Записываем интеграл по поверхности и переходим к полярным координатам:
[math]\iint\limits_{ S }\left( \vec{a}\vec{n} \right) ds=\iint\limits_{ S }\frac{ (2x^{2}-xy)dxdy }{ \sqrt{1-x^{2}-y^{2}} }=\int\limits_{0}^{2 \pi }(2cos^{2} \varphi -sin \varphi cos \varphi )d \varphi \int\limits_{0}^{1} \frac{ r^{3} dr }{ \sqrt{1-r^{2} } }=\frac{ 4 \pi }{ 3 }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю slava_psk "Спасибо" сказали:
AnnaNas
 Заголовок сообщения: Re: Теорема Остроградского-Гаусса
СообщениеДобавлено: 10 дек 2017, 23:00 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
08 дек 2017, 00:27
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
slava_psk

Почему мы берём интеграл от 0 до π/2 (dθ), а не просто до π?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Теорема Остроградского-Гаусса
СообщениеДобавлено: 11 дек 2017, 09:21 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 апр 2016, 14:40
Сообщений: 790
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
157 раз в 154 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
AnnaNas писал(а):
slava_psk

Почему мы берём интеграл от 0 до π/2 (dθ), а не просто до π?

На рисунке у вас верхняя полусфера, поэтому так. В сферических координатах [math]0\leqslant \theta \leqslant \pi[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю slava_psk "Спасибо" сказали:
AnnaNas
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Формула Остроградского-Гаусса

в форуме Интегральное исчисление

Krol

1

96

04 дек 2017, 17:24

Поверхностный интеграл(ф-ла Гаусса-Остроградского)

в форуме Интегральное исчисление

masicev

0

156

15 дек 2012, 15:20

С помощью формулы Гаусса-Остроградского найти

в форуме Векторный анализ и Теория поля

OkKurb

1

120

20 дек 2017, 17:21

Теорема Остоградского-Гаусса

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Manetty

2

169

01 июн 2016, 18:53

Метод Остроградского

в форуме Интегральное исчисление

surovanna19

1

116

24 май 2017, 01:11

Поверхностный интеграл по ф-ле Остроградского. Что не так?

в форуме Интегральное исчисление

dollemika

4

224

12 дек 2012, 16:52

Уравнение теплопроводности для пластины из Остроградского

в форуме Векторный анализ и Теория поля

lolikik

1

150

12 июн 2017, 20:49

Теорема сжатия (теорема о двух милиционерах)

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

tanyhaftv

3

69

03 апр 2018, 03:37

Вывести дифференциальное уравнение из формулы Остроградского

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

lolikik

0

84

12 июн 2017, 20:17

Используя формулу Остроградского проинтегрируйте почастям

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Ferdenant

0

224

14 сен 2015, 13:20


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved