Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Потенциальное, соленоидальное поле
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=35&t=56505
Страница 1 из 1

Автор:  Skrudj [ 06 ноя 2017, 13:29 ]
Заголовок сообщения:  Потенциальное, соленоидальное поле

Доказать, что векторное поле [math]\vec{a} = \left( \frac{ 1 }{ x+y+z } +1 \right)\vec{ \boldsymbol{i} }+\left( \frac{ 1 }{x+y+z } +1 \right)\vec{ \boldsymbol{j} } +\left( \frac{ 1 }{ x+y+z }+2z \right)\vec{ \boldsymbol{k} }[/math] потенциально, найти его
потенциал. Выяснить, является ли поле [math]\vec{a}[/math] соленоидальным.
Решение:
[math]rot \vec{a}=\left( \frac{d R}{d y} - \frac{d Q}{d z} \right)\vec{ \boldsymbol{i} }+\left( \frac{d P}{d z}-\frac{d R}{d x} \right)\vec{ \boldsymbol{j} } + \left( \frac{d Q}{d x}-\frac{d P}{d y} \right)\vec{ \boldsymbol{k} }[/math]
Получилось следующее:
[math]rot \vec{a}=\left( \left( -\frac{ 1 }{ (x+y+z)^{2}} \right)-\left(-\frac{ 1 }{ (x+y+z)^{2}} \right) \right)\vec{i}+\left( \left( -\frac{ 1 }{ (x+y+z)^{2}} \right)-\left(-\frac{ 1 }{ (x+y+z)^{2}} \right) \right)\vec{j}+\left( \left( -\frac{ 1 }{ (x+y+z)^{2}} \right)-\left(-\frac{ 1 }{ (x+y+z)^{2}} \right) \right)\vec{k}= 0[/math]
Следовательно, поле потенциально.
Для вычисления потенциала использую формулу:
[math]\int\limits_{M_{o}M }P(x;y;z)dx+Q(x;y;z)dy+R(x;y;z)dz=\int\limits_{x_{o}}^{x }P(x;y_{o} ;z_{o} )dx+\int\limits_{y_{o}}^{y }Q(x;y;z_{o} )dy+\int\limits_{z_{o}}^{z }R(x;y;z)dz+C[/math]
Точка [math]M_{o}\left( x_{o};y_{o};z_{o} \right)=M_{o} \left( 0;0;0 \right)[/math]
[math]\int\limits_{0}^{x}\left( \frac{ 1 }{ x+0+0 }+1 \right)dx+\int\limits_{0}^{y} \left( \frac{ 1 }{ x+y+0 }+1 \right)dy+\int\limits_{0}^{z}\left( \frac{ 1 }{ x+y+z } +2z \right)dz+C= \ln{\left|x \right| }+x+\ln{\left| x+y \right| }+y+\ln{\left| x+y+z \right| }+z^{2} +C[/math]
Потенциал равен:
[math]u=\ln{\left|x \right| }+x+\ln{\left| x+y \right| }+y+\ln{\left| x+y+z \right| }+z^{2} +C[/math]
Соленоидальное поле:
[math]div a=P_{x}^{'}+Q_{y}^{'}+R_{z}^{'}=\left( \frac{ 1 }{ x+y+z }+1 \right)_{x}^{'}+\left( \frac{ 1 }{ x+y+z } +1 \right)_{y}^{'} +\left( \frac{ 1 }{ x+y+z } +2z \right)_{z}^{'} =-\frac{ 1 }{ \left( x+y+z \right)^{2} }-\frac{ 1 }{ \left( x+y+z \right)^{2} } +2-\frac{ 1 }{ \left( x+y+z \right)^{2} }
=2-\frac{ 3 }{ \left( x+y+z \right)^{2} \ne 0 }[/math]

Следовательно, поле не является соленоидальным.

Проверьте пожалуйста, всё ли правильно.

Автор:  Skrudj [ 10 ноя 2017, 17:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Потенциальное, соленоидальное поле

Неужели никто не может проверить?

Автор:  swan [ 10 ноя 2017, 17:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Потенциальное, соленоидальное поле

1 и 3 похоже на правду.
по поводу второй задачи - возьмите от своего ответа градиент

Автор:  Skrudj [ 10 ноя 2017, 18:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Потенциальное, соленоидальное поле

Перерешал, нашел ошибки, спасибо

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/