Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
Потенциальное, соленоидальное поле http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=35&t=56505 |
Страница 1 из 1 |
Автор: | Skrudj [ 06 ноя 2017, 12:29 ] |
Заголовок сообщения: | Потенциальное, соленоидальное поле |
Доказать, что векторное поле [math]\vec{a} = \left( \frac{ 1 }{ x+y+z } +1 \right)\vec{ \boldsymbol{i} }+\left( \frac{ 1 }{x+y+z } +1 \right)\vec{ \boldsymbol{j} } +\left( \frac{ 1 }{ x+y+z }+2z \right)\vec{ \boldsymbol{k} }[/math] потенциально, найти его потенциал. Выяснить, является ли поле [math]\vec{a}[/math] соленоидальным. Решение: [math]rot \vec{a}=\left( \frac{d R}{d y} - \frac{d Q}{d z} \right)\vec{ \boldsymbol{i} }+\left( \frac{d P}{d z}-\frac{d R}{d x} \right)\vec{ \boldsymbol{j} } + \left( \frac{d Q}{d x}-\frac{d P}{d y} \right)\vec{ \boldsymbol{k} }[/math] Получилось следующее: [math]rot \vec{a}=\left( \left( -\frac{ 1 }{ (x+y+z)^{2}} \right)-\left(-\frac{ 1 }{ (x+y+z)^{2}} \right) \right)\vec{i}+\left( \left( -\frac{ 1 }{ (x+y+z)^{2}} \right)-\left(-\frac{ 1 }{ (x+y+z)^{2}} \right) \right)\vec{j}+\left( \left( -\frac{ 1 }{ (x+y+z)^{2}} \right)-\left(-\frac{ 1 }{ (x+y+z)^{2}} \right) \right)\vec{k}= 0[/math] Следовательно, поле потенциально. Для вычисления потенциала использую формулу: [math]\int\limits_{M_{o}M }P(x;y;z)dx+Q(x;y;z)dy+R(x;y;z)dz=\int\limits_{x_{o}}^{x }P(x;y_{o} ;z_{o} )dx+\int\limits_{y_{o}}^{y }Q(x;y;z_{o} )dy+\int\limits_{z_{o}}^{z }R(x;y;z)dz+C[/math] Точка [math]M_{o}\left( x_{o};y_{o};z_{o} \right)=M_{o} \left( 0;0;0 \right)[/math] [math]\int\limits_{0}^{x}\left( \frac{ 1 }{ x+0+0 }+1 \right)dx+\int\limits_{0}^{y} \left( \frac{ 1 }{ x+y+0 }+1 \right)dy+\int\limits_{0}^{z}\left( \frac{ 1 }{ x+y+z } +2z \right)dz+C= \ln{\left|x \right| }+x+\ln{\left| x+y \right| }+y+\ln{\left| x+y+z \right| }+z^{2} +C[/math] Потенциал равен: [math]u=\ln{\left|x \right| }+x+\ln{\left| x+y \right| }+y+\ln{\left| x+y+z \right| }+z^{2} +C[/math] Соленоидальное поле: [math]div a=P_{x}^{'}+Q_{y}^{'}+R_{z}^{'}=\left( \frac{ 1 }{ x+y+z }+1 \right)_{x}^{'}+\left( \frac{ 1 }{ x+y+z } +1 \right)_{y}^{'} +\left( \frac{ 1 }{ x+y+z } +2z \right)_{z}^{'} =-\frac{ 1 }{ \left( x+y+z \right)^{2} }-\frac{ 1 }{ \left( x+y+z \right)^{2} } +2-\frac{ 1 }{ \left( x+y+z \right)^{2} } =2-\frac{ 3 }{ \left( x+y+z \right)^{2} \ne 0 }[/math] Следовательно, поле не является соленоидальным. Проверьте пожалуйста, всё ли правильно. |
Автор: | Skrudj [ 10 ноя 2017, 16:10 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Потенциальное, соленоидальное поле |
Неужели никто не может проверить? |
Автор: | swan [ 10 ноя 2017, 16:26 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Потенциальное, соленоидальное поле |
1 и 3 похоже на правду. по поводу второй задачи - возьмите от своего ответа градиент |
Автор: | Skrudj [ 10 ноя 2017, 17:53 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Потенциальное, соленоидальное поле |
Перерешал, нашел ошибки, спасибо |
Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |