Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 3 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
malishka |
|
|
Вычислить циркуляцию векторного поля v=(x^2+y^2+z^2)i+(-2y+2z)j+(z^2+xy)k вдоль замкнутого контура АВСА, если АВС - треугольник, А(3,0,0), В(0,4,0), С(0,0,1) |
||
Вернуться к началу | ||
slava_psk |
|
|
Есть два способа вычисления циркуляции вектора вдоль замкнутого контура.
1. Непосредственное вычисление по границе. 2. С помощью формулы Стокса. Рассмотрим 2-способ. [math]\int\limits_{ABCA} \vec{F} \vec{dl}=\iint\limits_{ S }rot\vec{F}\vec{dS}[/math] S - 'Это поверхность выделенная контуром ABCD. В нашем случае это часть плоскости вырезанная треугольником ABC. Находим [math]rot\vec{F}=(x-2)\vec{i}+(2z-y)\vec{j}-2y\vec{k}[/math] Для вычисления [math]\vec{dS}[/math] нам потребуется нормаль к плоскости треугольника. Найдем уравнение плоскости по тем точкам: [math]\begin{vmatrix} x-x_{A} & x_{B}-x_{A} & x_{C}-x_{A} \\ y-y_{A} & y_{B}-y_{A} & y_{C}-y_{A} \\ z-z_{A} &z_{B}-z_{A} & z_{C}-z_{A} \end{vmatrix}=0[/math] Аккуратно раскроем определитель и получим: [math]4x+3y+12z-12=0[/math] Нормальный нормируемый вектор будет: [math]\vec{n} \frac{ 1 }{ \sqrt{16+9+144} }(4,3,12)[/math] Элемент поверхности ds находится как его проекция на плоскость x0y деленная на косинус наклона поверхности относительно оси 0z: [math]\vec{ds}=\frac{ dxdy }{ \frac{ 12 }{ 13 } } \vec{n}=\frac{ dxdy }{ 12 }(4\vec{i}+3\vec{j}+12\vec{k} )[/math] Подставляя полученные выражения в двойной интеграл получим: [math]\iint\limits_{ S }rot\vec{F}\vec{dS}=\frac{ 1 }{ 12 }\iint\limits_{ S }[4(2-x)+3(2z-y)-24y]dxdy[/math] Интегрировать нужно по области проекции на плоскость x0y. x=0;y=0; y=-4/3x+4. z нужно выразить через x и y из уравнения плоскости. Получаются очень простые интегралы. |
||
Вернуться к началу | ||
Wensindin |
|
|
If it is good then it will be great and then we will have to follow.
|
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 3 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |