Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти поток векторного поля через проекции
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=35&t=54944
Страница 1 из 1

Автор:  diman5504 [ 13 июн 2017, 15:49 ]
Заголовок сообщения:  Найти поток векторного поля через проекции

Помогите решить только через проекции (по Гауссу-Остраградскому не нужно) Изображение

Автор:  slava_psk [ 06 фев 2018, 16:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти поток векторного поля через проекции

Конус пересекается сферой радиуса 2 Z>=0. Поверхность состоит из конической и части сферы. Обе эти поверхности проецируются на плоскость x0y как круг радиуса [math]\sqrt{2}[/math], действительно, приравнивая z для поверхностей получим уравнение окружности: [math]x^{2}+y^{2} =2[/math]. Рассмотрим потоки для каждой части поверхности.
1. Коническая поверхность. [math]z=\sqrt{x^{2}+y^{2} }[/math];[math]-\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{ x }{ \sqrt{x^{2}+y^{2} } }[/math]; [math]-\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{ y }{ \sqrt{x^{2}+y^{2} } }[/math]. Нормальный вектор этой поверхности будет:[math]\vec{N}\left( \frac{ x }{ \sqrt{x^{2}+y^{2} } },\frac{ y }{ \sqrt{x^{2}+y^{2} } },-1 \right)[/math]. Соответственно, единичный вектор внешней нормали: [math]\vec{n}\left( \frac{ x }{ \sqrt{2x^{2}+2y^{2} } },\frac{ y }{ \sqrt{2x^{2}+2y^{2} } },-\frac{ 1 }{ \sqrt{2} } \right)[/math]. Элемент поверхности: [math]dS=\frac{ dxdy }{ cos\frac{ \pi }{ 4 } } =\sqrt{2}dxdy[/math]. Считаем поток через коническую поверхность, переходим к полярным координатам:[math]F_{c}=\iint\limits_{ S }\vec{F} \vec{n}dS=\int\limits_{0}^{2 \pi }d \varphi \int\limits_{0}^{\sqrt{2} }\left( rcos^{3} \varphi + rsin^{3} \varphi-r^{2} \right) rdr=-2 \pi[/math]
2. Сферическая поверхность. [math]z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}[/math]; [math]-\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{ x }{ \sqrt{4-x^{2}-y^{2} } }[/math]; [math]-\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{ y }{ \sqrt{4-x^{2}-y^{2} } }[/math]. Единичный нормальный вектор будет:[math]\vec{n}\left( -\frac{ x }{ 2 }, -\frac{ y }{ 2 },\frac{ \sqrt{4-x^{2}-y^{2}} }{ 2} \right)[/math]. Считаем поток через сферическую поверхность, переходим к полярным координатам:[math]F_{s}=\iint\limits_{ S }\vec{F} \vec{n}dS=\int\limits_{0}^{2 \pi }d \varphi \int\limits_{0}^{\sqrt{2} }\left(- \frac{ r^{3} cos^{3} \varphi }{\sqrt{4-r^{2} } }- \frac{ r^{3} sin^{3} \varphi }{\sqrt{4-r^{2} } } +4- r^{2} \right) rdr=6 \pi[/math]; [math]F_{all}=F_{c}+F_{s} =4 \pi[/math]

Проверим по Остроградскому. [math]F_{all}=\iiint\limits_{ V }div\vec{F}dV=2\int\limits_{0}^{2 \pi } d \varphi \int\limits_{0}^{\sqrt{2} }dz\int\limits_{0}^{z}\left( rcos \varphi +rsin \varphi +r \right)rdr +2\int\limits_{0}^{2 \pi } d \varphi \int\limits_{\sqrt{2}}^{2 }dz\int\limits_{0}^{\sqrt{4-z^{2} } }\left( rcos \varphi +rsin \varphi +r \right)rdr =4\pi[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/