Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти поток векторного поля через проекции
СообщениеДобавлено: 13 июн 2017, 15:49 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 июн 2017, 15:41
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите решить только через проекции (по Гауссу-Остраградскому не нужно) Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти поток векторного поля через проекции
СообщениеДобавлено: 06 фев 2018, 16:16 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 апр 2016, 14:40
Сообщений: 561
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
111 раз в 110 сообщениях
Очков репутации: 14

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Конус пересекается сферой радиуса 2 Z>=0. Поверхность состоит из конической и части сферы. Обе эти поверхности проецируются на плоскость x0y как круг радиуса [math]\sqrt{2}[/math], действительно, приравнивая z для поверхностей получим уравнение окружности: [math]x^{2}+y^{2} =2[/math]. Рассмотрим потоки для каждой части поверхности.
1. Коническая поверхность. [math]z=\sqrt{x^{2}+y^{2} }[/math];[math]-\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{ x }{ \sqrt{x^{2}+y^{2} } }[/math]; [math]-\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{ y }{ \sqrt{x^{2}+y^{2} } }[/math]. Нормальный вектор этой поверхности будет:[math]\vec{N}\left( \frac{ x }{ \sqrt{x^{2}+y^{2} } },\frac{ y }{ \sqrt{x^{2}+y^{2} } },-1 \right)[/math]. Соответственно, единичный вектор внешней нормали: [math]\vec{n}\left( \frac{ x }{ \sqrt{2x^{2}+2y^{2} } },\frac{ y }{ \sqrt{2x^{2}+2y^{2} } },-\frac{ 1 }{ \sqrt{2} } \right)[/math]. Элемент поверхности: [math]dS=\frac{ dxdy }{ cos\frac{ \pi }{ 4 } } =\sqrt{2}dxdy[/math]. Считаем поток через коническую поверхность, переходим к полярным координатам:[math]F_{c}=\iint\limits_{ S }\vec{F} \vec{n}dS=\int\limits_{0}^{2 \pi }d \varphi \int\limits_{0}^{\sqrt{2} }\left( rcos^{3} \varphi + rsin^{3} \varphi-r^{2} \right) rdr=-2 \pi[/math]
2. Сферическая поверхность. [math]z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}[/math]; [math]-\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{ x }{ \sqrt{4-x^{2}-y^{2} } }[/math]; [math]-\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{ y }{ \sqrt{4-x^{2}-y^{2} } }[/math]. Единичный нормальный вектор будет:[math]\vec{n}\left( -\frac{ x }{ 2 }, -\frac{ y }{ 2 },\frac{ \sqrt{4-x^{2}-y^{2}} }{ 2} \right)[/math]. Считаем поток через сферическую поверхность, переходим к полярным координатам:[math]F_{s}=\iint\limits_{ S }\vec{F} \vec{n}dS=\int\limits_{0}^{2 \pi }d \varphi \int\limits_{0}^{\sqrt{2} }\left(- \frac{ r^{3} cos^{3} \varphi }{\sqrt{4-r^{2} } }- \frac{ r^{3} sin^{3} \varphi }{\sqrt{4-r^{2} } } +4- r^{2} \right) rdr=6 \pi[/math]; [math]F_{all}=F_{c}+F_{s} =4 \pi[/math]

Проверим по Остроградскому. [math]F_{all}=\iiint\limits_{ V }div\vec{F}dV=2\int\limits_{0}^{2 \pi } d \varphi \int\limits_{0}^{\sqrt{2} }dz\int\limits_{0}^{z}\left( rcos \varphi +rsin \varphi +r \right)rdr +2\int\limits_{0}^{2 \pi } d \varphi \int\limits_{\sqrt{2}}^{2 }dz\int\limits_{0}^{\sqrt{4-z^{2} } }\left( rcos \varphi +rsin \varphi +r \right)rdr =4\pi[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти поток векторного поля через S

в форуме Интегральное исчисление

Lida980

3

106

18 дек 2016, 22:24

Найти поток векторного поля через поверхность

в форуме Векторный анализ и Теория поля

EVO_X

0

334

23 дек 2015, 19:52

Найти поток векторного поля через незамкнутую поверхность

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Vel

0

517

06 янв 2014, 10:56

Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность

в форуме Векторный анализ и Теория поля

natazond

0

673

15 июн 2013, 10:40

Поток векторного поля через поверхность

в форуме Векторный анализ и Теория поля

roza_0312

1

974

19 дек 2013, 22:01

Поток векторного поля через параболлойд

в форуме Векторный анализ и Теория поля

jonygibson

1

320

29 мар 2015, 14:58

Поток векторного поля через цилиндр

в форуме Векторный анализ и Теория поля

osos1612

6

450

17 сен 2016, 17:07

Поток векторного поля через гипербалойд

в форуме Векторный анализ и Теория поля

jonygibson

1

286

28 мар 2015, 17:12

Поток векторного поля через замкнутую поверхность S

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Spoke

3

753

02 май 2012, 00:08

Вычислить поток векторного поля через поверхность

в форуме Векторный анализ и Теория поля

JwOw

0

534

03 июн 2013, 15:56


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved