Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти поток векторного поля через проекции
СообщениеДобавлено: 13 июн 2017, 14:49 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 июн 2017, 14:41
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите решить только через проекции (по Гауссу-Остраградскому не нужно) Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти поток векторного поля через проекции
СообщениеДобавлено: 06 фев 2018, 15:16 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 апр 2016, 13:40
Сообщений: 3546
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
624 раз в 591 сообщениях
Очков репутации: 98

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Конус пересекается сферой радиуса 2 Z>=0. Поверхность состоит из конической и части сферы. Обе эти поверхности проецируются на плоскость x0y как круг радиуса [math]\sqrt{2}[/math], действительно, приравнивая z для поверхностей получим уравнение окружности: [math]x^{2}+y^{2} =2[/math]. Рассмотрим потоки для каждой части поверхности.
1. Коническая поверхность. [math]z=\sqrt{x^{2}+y^{2} }[/math];[math]-\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{ x }{ \sqrt{x^{2}+y^{2} } }[/math]; [math]-\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{ y }{ \sqrt{x^{2}+y^{2} } }[/math]. Нормальный вектор этой поверхности будет:[math]\vec{N}\left( \frac{ x }{ \sqrt{x^{2}+y^{2} } },\frac{ y }{ \sqrt{x^{2}+y^{2} } },-1 \right)[/math]. Соответственно, единичный вектор внешней нормали: [math]\vec{n}\left( \frac{ x }{ \sqrt{2x^{2}+2y^{2} } },\frac{ y }{ \sqrt{2x^{2}+2y^{2} } },-\frac{ 1 }{ \sqrt{2} } \right)[/math]. Элемент поверхности: [math]dS=\frac{ dxdy }{ cos\frac{ \pi }{ 4 } } =\sqrt{2}dxdy[/math]. Считаем поток через коническую поверхность, переходим к полярным координатам:[math]F_{c}=\iint\limits_{ S }\vec{F} \vec{n}dS=\int\limits_{0}^{2 \pi }d \varphi \int\limits_{0}^{\sqrt{2} }\left( rcos^{3} \varphi + rsin^{3} \varphi-r^{2} \right) rdr=-2 \pi[/math]
2. Сферическая поверхность. [math]z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}[/math]; [math]-\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{ x }{ \sqrt{4-x^{2}-y^{2} } }[/math]; [math]-\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{ y }{ \sqrt{4-x^{2}-y^{2} } }[/math]. Единичный нормальный вектор будет:[math]\vec{n}\left( -\frac{ x }{ 2 }, -\frac{ y }{ 2 },\frac{ \sqrt{4-x^{2}-y^{2}} }{ 2} \right)[/math]. Считаем поток через сферическую поверхность, переходим к полярным координатам:[math]F_{s}=\iint\limits_{ S }\vec{F} \vec{n}dS=\int\limits_{0}^{2 \pi }d \varphi \int\limits_{0}^{\sqrt{2} }\left(- \frac{ r^{3} cos^{3} \varphi }{\sqrt{4-r^{2} } }- \frac{ r^{3} sin^{3} \varphi }{\sqrt{4-r^{2} } } +4- r^{2} \right) rdr=6 \pi[/math]; [math]F_{all}=F_{c}+F_{s} =4 \pi[/math]

Проверим по Остроградскому. [math]F_{all}=\iiint\limits_{ V }div\vec{F}dV=2\int\limits_{0}^{2 \pi } d \varphi \int\limits_{0}^{\sqrt{2} }dz\int\limits_{0}^{z}\left( rcos \varphi +rsin \varphi +r \right)rdr +2\int\limits_{0}^{2 \pi } d \varphi \int\limits_{\sqrt{2}}^{2 }dz\int\limits_{0}^{\sqrt{4-z^{2} } }\left( rcos \varphi +rsin \varphi +r \right)rdr =4\pi[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти поток векторного поля через S

в форуме Интегральное исчисление

Lida980

3

417

18 дек 2016, 21:24

Найти поток векторного поля через поверхность

в форуме Векторный анализ и Теория поля

EVO_X

0

679

23 дек 2015, 18:52

Найти поток векторного поля F через незамкнутую поверхность

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Linc

4

533

22 ноя 2021, 16:17

Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность S

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Alex1219

1

434

22 май 2020, 12:49

Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Sofia123456

3

327

13 июн 2021, 18:03

Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Alex1219

2

301

20 май 2020, 13:37

Поток векторного поля через цилиндр

в форуме Векторный анализ и Теория поля

osos1612

6

1507

17 сен 2016, 16:07

Поток векторного поля через поверхность

в форуме Векторный анализ и Теория поля

honey

1

294

07 май 2020, 22:23

Поток векторного поля через поверхность

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Alina20092009

22

944

22 май 2020, 14:22

Поток векторного поля через параболлойд

в форуме Векторный анализ и Теория поля

jonygibson

1

620

29 мар 2015, 13:58


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved