Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Не могу решить задачи по интегралам
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=35&t=54633
Страница 1 из 1

Автор:  [Egor] [ 23 май 2017, 00:51 ]
Заголовок сообщения:  Не могу решить задачи по интегралам

1. Найти поток векторного поля a(M) через замкнутую поверхность [math]\sigma[/math] двумя способами:
а) непосредственно, вычисляя потоки через все гладкие куски поверхности [math]\sigma[/math];
б) по теореме Остроградского-Гаусса.
[math]\vec{a}[/math](M) = (1-z)(x[math]\vec{i}[/math]+y[math]\vec{j}[/math])+[math]\vec{k}[/math]
[math]\sigma[/math]=[math](1-z)^{2}[/math]=x[math]^{2}[/math]+y[math]^{2}[/math], 0[math]\leqslant[/math]z [math]\leqslant[/math]2
2. Найти циркуляцию векторного поля a(M) по контуру Г двумя способами:
а) непосредственно, вычисляя линейный интеграл векторного поля по контуру Г
б) по теореме Стокса.
[math]\vec{a}[/math](M)=x[math]\vec{i}[/math]-xz[math]\vec{j}[/math]+y[math]\vec{k}[/math]
Г = x+y+z = 1, z=0, x=0, y=0
Я пробовал решить, но не сходится и не верно https://vk.com/im?act=browse_images&id=140287

Автор:  slava_psk [ 23 май 2017, 11:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Не могу решить задачи по интегралам

В первой задаче поверхность это два конуса с вершинами в точке (0,0,1)

[math]div\vec{a} =2(1-z)[/math]
Интеграл по нижнему конусу [math]0\leqslant z \leqslant 1[/math] переходя к цилиндрическим координатам:

[math]\iiint\limits_{ \sigma }div\vec{a}rdrd \varphi dz=2\int\limits_{0}^{2 \pi }d \varphi \int\limits_{0}^{1}(1-z)dz \int\limits_{0}^{1-z}rdr=2\pi\int\limits_{0}^{1}(1-z)^{3}dz=\frac{ \pi }{ 2 }[/math]
По верхнему конусу[math]1\leqslant z \leqslant 2[/math] интеграл по объему получается [math]-\frac{ \pi }{ 2 }[/math]
Значит полный поток получается равным нулю. Ответ такой?

Автор:  [Egor] [ 23 май 2017, 13:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Не могу решить задачи по интегралам

slava_psk, ответ не известен мне еще.

Автор:  [Egor] [ 24 май 2017, 18:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Не могу решить задачи по интегралам

slava_psk, а к второй задаче есть ответ/решение?

Автор:  slava_psk [ 25 май 2017, 09:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Не могу решить задачи по интегралам

Рассмотрим решение второй задачи по формуле Стокса.

[math]rot\vec{a} =(1+x)\vec{i} -z\vec{k}[/math]

Наша поверхность это плоскость с единичным нормальным вектором [math]\vec{n}=\frac{ 1 }{ \sqrt{3} }\left( \vec{i}+\vec{j}+\vec{k} \right)[/math]. Не сложно получить, что наша плоскость наклонена к плоскости x0y под углом [math]\cos{ \gamma } =\frac{ 1 }{ \sqrt{3} }[/math]
Тогда элементарная поверхность будет [math]ds=\frac{ dxdy }{ \cos{ \gamma } }=\sqrt{3} dxdy[/math]

Теперь интегрируем:
[math]I=\iint\limits_{ Dxy }rot\vec{a} \vec{ds}=\iint\limits_{ Dxy }rot\vec{a} \vec{n}ds=\iint\limits_{Dxy }(1+x-z)dxdy=\int\limits_{0}^{1}dx\int\limits_{0}^{-x+1}(2x+y)dy=\frac{ 1 }{ 4 }[/math]

Автор:  [Egor] [ 28 май 2017, 01:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Не могу решить задачи по интегралам

slava_psk
к 1 задаче, 0 [math]\leqslant[/math] z [math]\leqslant[/math] 1 ответ [math]\frac{ \pi }{ 2 }[/math]
к 2 задаче, ответ [math]\frac{ 1 }{ 2 }[/math], вы ошиблись в ответе.

Автор:  slava_psk [ 28 май 2017, 11:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Не могу решить задачи по интегралам

Приведите решение.

Автор:  [Egor] [ 28 май 2017, 13:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Не могу решить задачи по интегралам

slava_psk
2 способа:
https://vk.com/im?act=browse_images&id=141142

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/