Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 7 ] |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
brom |
|
||
[math]f = \frac{r^2}{(\vec{a}\cdot\vec{r})^2}[/math] необходимо отыскать производную по направлению вектора [math]\vec{a}[/math] что было сделано: учитывая, что [math]r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}[/math] получим [math]r^2 = x^2 + y^2 + z^2[/math] [math](\vec{a},\vec{r})^2 = (xa_x)^2 + (ya_y)^2+(za_z)^2[/math] Подскажите, что делать дальше? |
|||
Вернуться к началу | |||
searcher |
|
||
brom писал(а): Подскажите, что делать дальше? А я вообще пошёл другим путём (не уверен, что в правильном направлении). Сначала нашёл градиент нашей функции по правилу дифференцирования частного (Градиенты числителя и знаменателя легко находятся). Затем полученный градиент умножил (скалярное произведение) на вектор направления и получил производную вдоль направления. |
|||
Вернуться к началу | |||
brom |
|
|
searcher писал(а): brom писал(а): Подскажите, что делать дальше? А я вообще пошёл другим путём (не уверен, что в правильном направлении). Сначала нашёл градиент нашей функции по правилу дифференцирования частного (Градиенты числителя и знаменателя легко находятся). Затем полученный градиент умножил (скалярное произведение) на вектор направления и получил производную вдоль направления. т.e. использовали соотношение [math]\frac{df}{dl} = (\vec{\nabla{f}},\vec{a})[/math] ?хм, странно получается, например [math]\frac{\partial{f}}{\partial{x}} = \frac{2x \cdot x^2 + y^2 + z^2 - x^2 + y^2 + z^2 \cdot 2xa_z}{[(xa_x + ya_y + za_z)^2]^2}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
||
У меня другой результат получился. Градиент числителя [math]\nabla r^2=2r[/math]. Градиент знаменателя [math]\nabla (a \cdot r)^2=2(a \cdot r)r[/math]. Градиент всего выражения (по правилу частного) [math]\nabla f=2\dfrac {(a \cdot r)r-r^2a}{(a \cdot r)^3}[/math]. Осталось немного. (В моих обозначениях [math]a,r[/math] - вектора).
|
|||
Вернуться к началу | |||
Human |
|
||
searcher писал(а): [math]\nabla (a \cdot r)^2=2(a \cdot r)r[/math] Опечатались, должно быть [math]\nabla (a \cdot r)^2=2(a \cdot r)a[/math]. brom писал(а): т.e. использовали соотношение [math]\frac{df}{dl} = (\vec{\nabla{f}},\vec{a})[/math] ?Если вектор [math]a[/math] не единичный, то еще нужно поделить на его модуль. А так да, идея такая. |
|||
Вернуться к началу | |||
searcher |
|
||
Human писал(а): Опечатались, Да. Действительно, опечатался (Конкретно в этом месте. Дальше в дроби вроде правильно). Human писал(а): Если вектор a не единичный, то еще нужно поделить на его модуль. А зачем делить на модуль? (Хотя я уже не понял, что там за вектор [math]l[/math] появился). См. Зорич. п.10.5.2 формула 5. Или Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. п1.1. формула 6. P.S. Хотя заметил, что разные авторы различают производную по направлению, производную по вектору, производную Гато. (Я имел в виду Гато). |
|||
Вернуться к началу | |||
searcher |
|
||
Последний вопрос про деление на модуль снимаю. У Зорича вообще нет производной "по направлению". Поляк под производной по "направлению" фактически имеет в виду производную Гато (Не совсем, но при условии линейности). Посмотрел Алексеев, Тихомиров, Фомин. Оптимальное управление. п.2.2.1. То же самое. Вообще у разных авторов разная терминология.
|
|||
Вернуться к началу | |||
[ Сообщений: 7 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 14 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |