Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Добить производную по направлению вектора
СообщениеДобавлено: 17 май 2017, 20:26 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
03 янв 2017, 17:29
Сообщений: 49
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Есть функция

[math]f = \frac{r^2}{(\vec{a}\cdot\vec{r})^2}[/math]


необходимо отыскать производную по направлению вектора [math]\vec{a}[/math]

что было сделано:

учитывая, что
[math]r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}[/math]


получим

[math]r^2 = x^2 + y^2 + z^2[/math]


[math](\vec{a},\vec{r})^2 = (xa_x)^2 + (ya_y)^2+(za_z)^2[/math]


Подскажите, что делать дальше?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Добить производную по направлению вектора
СообщениеДобавлено: 17 май 2017, 21:06 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2193
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
323 раз в 308 сообщениях
Очков репутации: 116

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
brom писал(а):
Подскажите, что делать дальше?

А я вообще пошёл другим путём (не уверен, что в правильном направлении). Сначала нашёл градиент нашей функции по правилу дифференцирования частного (Градиенты числителя и знаменателя легко находятся). Затем полученный градиент умножил (скалярное произведение) на вектор направления и получил производную вдоль направления.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Добить производную по направлению вектора
СообщениеДобавлено: 17 май 2017, 22:42 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
03 янв 2017, 17:29
Сообщений: 49
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
brom писал(а):
Подскажите, что делать дальше?

А я вообще пошёл другим путём (не уверен, что в правильном направлении). Сначала нашёл градиент нашей функции по правилу дифференцирования частного (Градиенты числителя и знаменателя легко находятся). Затем полученный градиент умножил (скалярное произведение) на вектор направления и получил производную вдоль направления.


т.e. использовали соотношение
[math]\frac{df}{dl} = (\vec{\nabla{f}},\vec{a})[/math]
?

хм, странно получается, например
[math]\frac{\partial{f}}{\partial{x}} = \frac{2x \cdot x^2 + y^2 + z^2 - x^2 + y^2 + z^2 \cdot 2xa_z}{[(xa_x + ya_y + za_z)^2]^2}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Добить производную по направлению вектора
СообщениеДобавлено: 18 май 2017, 16:41 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2193
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
323 раз в 308 сообщениях
Очков репутации: 116

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
У меня другой результат получился. Градиент числителя [math]\nabla r^2=2r[/math]. Градиент знаменателя [math]\nabla (a \cdot r)^2=2(a \cdot r)r[/math]. Градиент всего выражения (по правилу частного) [math]\nabla f=2\dfrac {(a \cdot r)r-r^2a}{(a \cdot r)^3}[/math]. Осталось немного. (В моих обозначениях [math]a,r[/math] - вектора).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Добить производную по направлению вектора
СообщениеДобавлено: 18 май 2017, 17:32 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 3941
Cпасибо сказано: 111
Спасибо получено:
1754 раз в 1461 сообщениях
Очков репутации: 366

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
[math]\nabla (a \cdot r)^2=2(a \cdot r)r[/math]

Опечатались, должно быть [math]\nabla (a \cdot r)^2=2(a \cdot r)a[/math].
brom писал(а):
т.e. использовали соотношение
[math]\frac{df}{dl} = (\vec{\nabla{f}},\vec{a})[/math]
?

Если вектор [math]a[/math] не единичный, то еще нужно поделить на его модуль. А так да, идея такая.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Добить производную по направлению вектора
СообщениеДобавлено: 18 май 2017, 18:51 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2193
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
323 раз в 308 сообщениях
Очков репутации: 116

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
Опечатались,

Да. Действительно, опечатался (Конкретно в этом месте. Дальше в дроби вроде правильно).
Human писал(а):
Если вектор a не единичный, то еще нужно поделить на его модуль.

А зачем делить на модуль? (Хотя я уже не понял, что там за вектор [math]l[/math] появился). См. Зорич. п.10.5.2 формула 5. Или Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. п1.1. формула 6.
P.S. Хотя заметил, что разные авторы различают производную по направлению, производную по вектору, производную Гато. (Я имел в виду Гато).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Добить производную по направлению вектора
СообщениеДобавлено: 18 май 2017, 19:05 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2193
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
323 раз в 308 сообщениях
Очков репутации: 116

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Последний вопрос про деление на модуль снимаю. У Зорича вообще нет производной "по направлению". Поляк под производной по "направлению" фактически имеет в виду производную Гато (Не совсем, но при условии линейности). Посмотрел Алексеев, Тихомиров, Фомин. Оптимальное управление. п.2.2.1. То же самое. Вообще у разных авторов разная терминология.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти производную в точке а по направлению вектора а

в форуме Векторный анализ и Теория поля

AnnP

0

303

09 ноя 2015, 22:43

Найти производную функции по направлению вектора

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Dragan23

12

2000

11 дек 2011, 22:07

Найти производную функцию в точке по направлению вектора S

в форуме Дифференциальное исчисление

EEEVVVA

2

2044

01 апр 2012, 08:51

Найти градиент и производную функции по направлению вектора

в форуме Векторный анализ и Теория поля

farell

2

144

22 июн 2017, 19:00

Найти производную скалярного поля по направлению вектора l

в форуме Векторный анализ и Теория поля

777

5

989

04 май 2012, 00:12

Найти градиент и производную в точке по направлению вектора

в форуме Векторный анализ и Теория поля

margo 83

9

9466

30 окт 2011, 18:52

Найти градиен и производную функции по направлению вектора

в форуме Векторный анализ и Теория поля

S1vka

1

749

29 ноя 2013, 00:26

Производная функции по направлению вектора в заданной точке

в форуме Дифференциальное исчисление

Silas

2

411

25 мар 2012, 17:20

Найти производную по направлению

в форуме Дифференциальное исчисление

Maik

7

110

11 сен 2017, 19:14

Найти градиент и производную по направлению

в форуме Векторный анализ и Теория поля

makc59

3

769

07 фев 2014, 16:06


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved