Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 12 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
searcher |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
Формула у Вас непонятно как записана - слева ротор (вектор), а справа что? Расставьте векторы в явном виде.
А первые два слагаемые хорошо узнаются - это формула векторного произведения трех недифференциальных векторов: [math](\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}=\vec{b}(\vec{a} ,\vec{c} ) -\vec{a}(\vec{b},\vec{c} )[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
michel писал(а): Формула у Вас непонятно как записана - слева ротор (вектор), а справа что? Формула у меня дословно переписана с вышеупомянутого учебника. Что справа - сам бы хотел понять. michel писал(а): Расставьте векторы в явном виде. Не понял. Но попробую объяснить формулу более подробно. [math]\operatorname{rot} (\bar{a} \times \bar{b})=\nabla \times (\bar{a} \times \bar{b})= \nabla \times (\downarrow \bar{a} \times \bar{b})+\nabla \times (\bar{a} \times \downarrow \bar{b})[/math] (В отличие от учебника стрелка у меня слева от вектора, а не сверху). Расшифруем первый член справа. Формально, исходя из формулы предыдущего поста, мы бы должны иметь [math]\nabla \times (\downarrow \bar{a} \times \bar{b})=\downarrow \bar{a} (\nabla ,\bar{b})-\bar{b}(\nabla, \downarrow \bar{a})[/math]. Что касается правого члена, то тут всё ясно. Убираем стрелку и получаем [math]-\bar{b} \operatorname{div} \bar{a}[/math]. А вот с левым членом у меня непонятки. Как я понял, они формально пишут [math]\downarrow \bar{a} (\nabla, \bar {b})= (\bar{b} \nabla) \downarrow \bar{a}[/math]. Этот переход мне непонятен. Откуда это следует? Стрелку тут можно убрать. Слева в скобках. как я понял, дифференциальный оператор [math]\{b_x \frac{\partial}{\partial x};b_y \frac{\partial}{\partial y};b_z \frac{\partial}{\partial z}\}[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
Если бы [math]\nabla[/math] было бы простым вектором, то имели бы равенство
[math]\bar{a} (\nabla, \bar {b})=(\bar{b},\nabla')\bar{a}[/math]. Здесь штрих обозначает транспонирование. А в круглых скобках справа стоит матрица, как скалярное произведение вектор-столбца на вектор-строку. И это равенство легко проверяется непосредственно. А вот непонятное мне равенство из предыдущего поста, где [math]\nabla[/math] - дифференциальный оператор, непосредственно проверить я не смог. |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
Вот у Зорича нашёл (глава 14, пар.1, упр. 1f, 6-е изд.) формулу
[math]\nabla \times (A \times B) = (B \cdot \nabla )A - (A \cdot \nabla )B+(\nabla \cdot B)A - (\nabla \cdot A)B[/math]. Здесь главное понимать, что [math](B \cdot \nabla)[/math] и [math](\nabla \cdot B)[/math] - две большие разницы. (Бегло просмотрел главу. Разъяснения того, что это действительно разные вещи, не нашёл.) |
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
searcher писал(а): [math]\bar{a} (\nabla, \bar {b})=(\bar{b},\nabla')\bar{a}[/math]. Здесь штрих обозначает транспонирование. А в круглых скобках справа стоит матрица, как скалярное произведение вектор-столбца на вектор-строку. Здесь нет никаких транспонирований, матриц, столбцов и строк. Есть просто векторы с тремя компонентами в стандартном базисе. Равенство [math]( \boldsymbol{a} , \boldsymbol{b} )=( \boldsymbol{b} , \boldsymbol{a} )[/math] не предполагает использования никаких матричных обозначений, это просто свойство симметричности скалярного произведения, а [math]\boldsymbol{a}[/math] и [math]\boldsymbol{b}[/math] здесь - это просто векторы, не строки или столбцы. Как только стрелкой помечено, на что действует набла, с ней можно обращаться как с обычным вектором. Так что в равенстве searcher писал(а): [math]\downarrow \bar{a} (\nabla, \bar {b})= (\bar{b} \nabla) \downarrow \bar{a}[/math]. просто поменяны местами векторы в скалярном произведении, и оно, как формальный скаляр, поставлено впереди вектора [math]\boldsymbol{a}[/math]. searcher писал(а): Здесь главное понимать, что [math](B \cdot \nabla)[/math] и [math](\nabla \cdot B)[/math] - две большие разницы. (Бегло просмотрел главу. Разъяснения того, что это действительно разные вещи, не нашёл.) По умолчанию считается, что набла (без стрелочек) действует непосредственно на то, что стоит справа от нее. То есть, [math]\nabla\cdot \boldsymbol{a} =\frac{\partial a_x}{\partial x}+\frac{\partial a_y}{\partial y}+\frac{\partial a_z}{\partial z}[/math] - это число (функция) [math]\boldsymbol{a}\cdot\nabla= a_x\frac{\partial }{\partial x}+ a_y\frac{\partial }{\partial y}+ a_z\frac{\partial }{\partial z}[/math] - оператор, который должен действовать на что-то справа от него. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: searcher |
||
Human |
|
|
Еще по теме: http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=35&t=46238
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: searcher |
||
searcher |
|
|
Пока понял вот что. Если в известную формулу [math]a \times (b \times c)=b(a,c)-c(a,b)[/math] формально вместо [math]a[/math] подставить [math]\nabla[/math], то получаем ерунду. А вот если формулу чуток преобразовать [math]a \times (b \times c)=(c,a)b-(a,b)c[/math], то получим правильную формулу [math]\nabla \times (a \times b) = (c \nabla )b - (\nabla, b)c[/math]. Осталось только уточнить, что есть [math](c \nabla)[/math].
|
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
Human писал(а): Еще по теме: http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=35&t=46238 Спасибо. Пока подозреваю, что для полного прояснения надо использовать тензоры или дифференциальные формы. |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
Human
Спасибо. Пока писал что-то своё, появились ваши сообщения. Для меня всё ещё актуален вопрос из первого поста searcher писал(а): Подскажите литературу, где было бы доступно объяснено получение формул векторного анализа с помощью формального манипулирования с операторам Гамильтона Пока понимаю всё это как-то формально. Хотелось бы понять, откуда ноги растут. |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 12 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Доказательство теоремы Гамильтона-Кэли
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
9 |
306 |
18 апр 2020, 12:12 |
|
Как показать, что отображение является линейным оператором?
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
13 |
1116 |
06 апр 2017, 14:46 |
|
Является ли линейным оператором следующее отображение
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
13 |
1043 |
13 апр 2016, 15:55 |
|
Оператор дифферецирования является нильпотентым оператором
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
2 |
338 |
14 май 2014, 00:22 |
|
Как найти количество выполненных итераций оператором while?
в форуме MathCad |
5 |
203 |
14 янв 2022, 01:24 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |