Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Формальное жонглирование с наблой (оператором Гамильтона)
СообщениеДобавлено: 12 апр 2017, 12:50 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Подскажите литературу, где было бы доступно объяснено получение формул векторного анализа с помощью формального манипулирования с операторам Гамильтона [math]\nabla[/math]. Если к тому же было бы хоть какое то обоснование этой магии, то было вообще замечательно (на это не надеюсь). Пока смотрю учебник анализа Тер-Крикорова и Шабунина (п. 55.3) и не удовлетворен полностью. Например, хочу формально вывести равенство [math]\operatorname{rot} (\bar{c} \times \bar{r} )=2\bar{c}[/math]. Здесь [math]\operatorname{rot}[/math] - ротор векторного поля, [math]\bar{c}[/math] - постоянный вектор, [math]\bar{r}=x\bar{i}+y\bar{j}+z\bar{k}[/math]. В упомянутом учебнике есть формула [math]\operatorname{rot} (\bar{a} \times \bar{b})=(b\nabla )a-(a\nabla )b +a \operatorname{div}b - b\operatorname{div}a[/math]. Непонятно происхождение (точнее вид записи) первых двух членов.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Формальное жонглирование с наблой (оператором Гамильтона)
СообщениеДобавлено: 12 апр 2017, 13:19 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Формула у Вас непонятно как записана - слева ротор (вектор), а справа что? Расставьте векторы в явном виде.
А первые два слагаемые хорошо узнаются - это формула векторного произведения трех недифференциальных векторов: [math](\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}=\vec{b}(\vec{a} ,\vec{c} ) -\vec{a}(\vec{b},\vec{c} )[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Формальное жонглирование с наблой (оператором Гамильтона)
СообщениеДобавлено: 12 апр 2017, 16:52 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Формула у Вас непонятно как записана - слева ротор (вектор), а справа что?

Формула у меня дословно переписана с вышеупомянутого учебника. Что справа - сам бы хотел понять.
michel писал(а):
Расставьте векторы в явном виде.

Не понял. Но попробую объяснить формулу более подробно.
[math]\operatorname{rot} (\bar{a} \times \bar{b})=\nabla \times (\bar{a} \times \bar{b})=
\nabla \times (\downarrow \bar{a} \times \bar{b})+\nabla \times (\bar{a} \times \downarrow \bar{b})[/math]

(В отличие от учебника стрелка у меня слева от вектора, а не сверху).
Расшифруем первый член справа. Формально, исходя из формулы предыдущего поста, мы бы должны иметь
[math]\nabla \times (\downarrow \bar{a} \times \bar{b})=\downarrow \bar{a} (\nabla ,\bar{b})-\bar{b}(\nabla, \downarrow \bar{a})[/math].
Что касается правого члена, то тут всё ясно. Убираем стрелку и получаем [math]-\bar{b} \operatorname{div} \bar{a}[/math].
А вот с левым членом у меня непонятки. Как я понял, они формально пишут
[math]\downarrow \bar{a} (\nabla, \bar {b})= (\bar{b} \nabla) \downarrow \bar{a}[/math]. Этот переход мне непонятен. Откуда это следует?
Стрелку тут можно убрать. Слева в скобках. как я понял, дифференциальный оператор
[math]\{b_x \frac{\partial}{\partial x};b_y \frac{\partial}{\partial y};b_z \frac{\partial}{\partial z}\}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Формальное жонглирование с наблой (оператором Гамильтона)
СообщениеДобавлено: 12 апр 2017, 17:35 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если бы [math]\nabla[/math] было бы простым вектором, то имели бы равенство
[math]\bar{a} (\nabla, \bar {b})=(\bar{b},\nabla')\bar{a}[/math]. Здесь штрих обозначает транспонирование. А в круглых скобках справа стоит матрица, как скалярное произведение вектор-столбца на вектор-строку. И это равенство легко проверяется непосредственно. А вот непонятное мне равенство из предыдущего поста, где [math]\nabla[/math] - дифференциальный оператор, непосредственно проверить я не смог.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Формальное жонглирование с наблой (оператором Гамильтона)
СообщениеДобавлено: 12 апр 2017, 19:03 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот у Зорича нашёл (глава 14, пар.1, упр. 1f, 6-е изд.) формулу
[math]\nabla \times (A \times B) = (B \cdot \nabla )A - (A \cdot \nabla )B+(\nabla \cdot B)A - (\nabla \cdot A)B[/math]. Здесь главное понимать, что [math](B \cdot \nabla)[/math] и [math](\nabla \cdot B)[/math] - две большие разницы. (Бегло просмотрел главу. Разъяснения того, что это действительно разные вещи, не нашёл.)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Формальное жонглирование с наблой (оператором Гамильтона)
СообщениеДобавлено: 12 апр 2017, 19:17 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
[math]\bar{a} (\nabla, \bar {b})=(\bar{b},\nabla')\bar{a}[/math]. Здесь штрих обозначает транспонирование. А в круглых скобках справа стоит матрица, как скалярное произведение вектор-столбца на вектор-строку.

Здесь нет никаких транспонирований, матриц, столбцов и строк. Есть просто векторы с тремя компонентами в стандартном базисе. Равенство [math]( \boldsymbol{a} , \boldsymbol{b} )=( \boldsymbol{b} , \boldsymbol{a} )[/math] не предполагает использования никаких матричных обозначений, это просто свойство симметричности скалярного произведения, а [math]\boldsymbol{a}[/math] и [math]\boldsymbol{b}[/math] здесь - это просто векторы, не строки или столбцы.

Как только стрелкой помечено, на что действует набла, с ней можно обращаться как с обычным вектором. Так что в равенстве
searcher писал(а):
[math]\downarrow \bar{a} (\nabla, \bar {b})= (\bar{b} \nabla) \downarrow \bar{a}[/math].

просто поменяны местами векторы в скалярном произведении, и оно, как формальный скаляр, поставлено впереди вектора [math]\boldsymbol{a}[/math].
searcher писал(а):
Здесь главное понимать, что [math](B \cdot \nabla)[/math] и [math](\nabla \cdot B)[/math] - две большие разницы. (Бегло просмотрел главу. Разъяснения того, что это действительно разные вещи, не нашёл.)

По умолчанию считается, что набла (без стрелочек) действует непосредственно на то, что стоит справа от нее. То есть,

[math]\nabla\cdot \boldsymbol{a} =\frac{\partial a_x}{\partial x}+\frac{\partial a_y}{\partial y}+\frac{\partial a_z}{\partial z}[/math] - это число (функция)

[math]\boldsymbol{a}\cdot\nabla= a_x\frac{\partial }{\partial x}+ a_y\frac{\partial }{\partial y}+ a_z\frac{\partial }{\partial z}[/math] - оператор, который должен действовать на что-то справа от него.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
searcher
 Заголовок сообщения: Re: Формальное жонглирование с наблой (оператором Гамильтона)
СообщениеДобавлено: 12 апр 2017, 19:32 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
searcher
 Заголовок сообщения: Re: Формальное жонглирование с наблой (оператором Гамильтона)
СообщениеДобавлено: 12 апр 2017, 19:38 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пока понял вот что. Если в известную формулу [math]a \times (b \times c)=b(a,c)-c(a,b)[/math] формально вместо [math]a[/math] подставить [math]\nabla[/math], то получаем ерунду. А вот если формулу чуток преобразовать [math]a \times (b \times c)=(c,a)b-(a,b)c[/math], то получим правильную формулу [math]\nabla \times (a \times b) = (c \nabla )b - (\nabla, b)c[/math]. Осталось только уточнить, что есть [math](c \nabla)[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Формальное жонглирование с наблой (оператором Гамильтона)
СообщениеДобавлено: 12 апр 2017, 19:41 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):

Спасибо. Пока подозреваю, что для полного прояснения надо использовать тензоры или дифференциальные формы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Формальное жонглирование с наблой (оператором Гамильтона)
СообщениеДобавлено: 12 апр 2017, 20:04 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human
Спасибо. Пока писал что-то своё, появились ваши сообщения. Для меня всё ещё актуален вопрос из первого поста
searcher писал(а):
Подскажите литературу, где было бы доступно объяснено получение формул векторного анализа с помощью формального манипулирования с операторам Гамильтона

Пока понимаю всё это как-то формально. Хотелось бы понять, откуда ноги растут.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 12 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказательство теоремы Гамильтона-Кэли

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

rancid_rot

9

306

18 апр 2020, 12:12

Как показать, что отображение является линейным оператором?

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

crazymadman18

13

1116

06 апр 2017, 14:46

Является ли линейным оператором следующее отображение

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Anastasia Lemon

13

1043

13 апр 2016, 15:55

Оператор дифферецирования является нильпотентым оператором

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

vika_bar

2

338

14 май 2014, 00:22

Как найти количество выполненных итераций оператором while?

в форуме MathCad

rt7

5

203

14 янв 2022, 01:24


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved