Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Формальное жонглирование с наблой (оператором Гамильтона)
СообщениеДобавлено: 12 апр 2017, 13:50 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2193
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
323 раз в 308 сообщениях
Очков репутации: 116

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Подскажите литературу, где было бы доступно объяснено получение формул векторного анализа с помощью формального манипулирования с операторам Гамильтона [math]\nabla[/math]. Если к тому же было бы хоть какое то обоснование этой магии, то было вообще замечательно (на это не надеюсь). Пока смотрю учебник анализа Тер-Крикорова и Шабунина (п. 55.3) и не удовлетворен полностью. Например, хочу формально вывести равенство [math]\operatorname{rot} (\bar{c} \times \bar{r} )=2\bar{c}[/math]. Здесь [math]\operatorname{rot}[/math] - ротор векторного поля, [math]\bar{c}[/math] - постоянный вектор, [math]\bar{r}=x\bar{i}+y\bar{j}+z\bar{k}[/math]. В упомянутом учебнике есть формула [math]\operatorname{rot} (\bar{a} \times \bar{b})=(b\nabla )a-(a\nabla )b +a \operatorname{div}b - b\operatorname{div}a[/math]. Непонятно происхождение (точнее вид записи) первых двух членов.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Формальное жонглирование с наблой (оператором Гамильтона)
СообщениеДобавлено: 12 апр 2017, 14:19 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 13:21
Сообщений: 1416
Cпасибо сказано: 37
Спасибо получено:
519 раз в 484 сообщениях
Очков репутации: 76

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Формула у Вас непонятно как записана - слева ротор (вектор), а справа что? Расставьте векторы в явном виде.
А первые два слагаемые хорошо узнаются - это формула векторного произведения трех недифференциальных векторов: [math](\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}=\vec{b}(\vec{a} ,\vec{c} ) -\vec{a}(\vec{b},\vec{c} )[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Формальное жонглирование с наблой (оператором Гамильтона)
СообщениеДобавлено: 12 апр 2017, 17:52 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2193
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
323 раз в 308 сообщениях
Очков репутации: 116

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Формула у Вас непонятно как записана - слева ротор (вектор), а справа что?

Формула у меня дословно переписана с вышеупомянутого учебника. Что справа - сам бы хотел понять.
michel писал(а):
Расставьте векторы в явном виде.

Не понял. Но попробую объяснить формулу более подробно.
[math]\operatorname{rot} (\bar{a} \times \bar{b})=\nabla \times (\bar{a} \times \bar{b})=
\nabla \times (\downarrow \bar{a} \times \bar{b})+\nabla \times (\bar{a} \times \downarrow \bar{b})[/math]

(В отличие от учебника стрелка у меня слева от вектора, а не сверху).
Расшифруем первый член справа. Формально, исходя из формулы предыдущего поста, мы бы должны иметь
[math]\nabla \times (\downarrow \bar{a} \times \bar{b})=\downarrow \bar{a} (\nabla ,\bar{b})-\bar{b}(\nabla, \downarrow \bar{a})[/math].
Что касается правого члена, то тут всё ясно. Убираем стрелку и получаем [math]-\bar{b} \operatorname{div} \bar{a}[/math].
А вот с левым членом у меня непонятки. Как я понял, они формально пишут
[math]\downarrow \bar{a} (\nabla, \bar {b})= (\bar{b} \nabla) \downarrow \bar{a}[/math]. Этот переход мне непонятен. Откуда это следует?
Стрелку тут можно убрать. Слева в скобках. как я понял, дифференциальный оператор
[math]\{b_x \frac{\partial}{\partial x};b_y \frac{\partial}{\partial y};b_z \frac{\partial}{\partial z}\}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Формальное жонглирование с наблой (оператором Гамильтона)
СообщениеДобавлено: 12 апр 2017, 18:35 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2193
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
323 раз в 308 сообщениях
Очков репутации: 116

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если бы [math]\nabla[/math] было бы простым вектором, то имели бы равенство
[math]\bar{a} (\nabla, \bar {b})=(\bar{b},\nabla')\bar{a}[/math]. Здесь штрих обозначает транспонирование. А в круглых скобках справа стоит матрица, как скалярное произведение вектор-столбца на вектор-строку. И это равенство легко проверяется непосредственно. А вот непонятное мне равенство из предыдущего поста, где [math]\nabla[/math] - дифференциальный оператор, непосредственно проверить я не смог.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Формальное жонглирование с наблой (оператором Гамильтона)
СообщениеДобавлено: 12 апр 2017, 20:03 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2193
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
323 раз в 308 сообщениях
Очков репутации: 116

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот у Зорича нашёл (глава 14, пар.1, упр. 1f, 6-е изд.) формулу
[math]\nabla \times (A \times B) = (B \cdot \nabla )A - (A \cdot \nabla )B+(\nabla \cdot B)A - (\nabla \cdot A)B[/math]. Здесь главное понимать, что [math](B \cdot \nabla)[/math] и [math](\nabla \cdot B)[/math] - две большие разницы. (Бегло просмотрел главу. Разъяснения того, что это действительно разные вещи, не нашёл.)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Формальное жонглирование с наблой (оператором Гамильтона)
СообщениеДобавлено: 12 апр 2017, 20:17 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 3941
Cпасибо сказано: 111
Спасибо получено:
1754 раз в 1461 сообщениях
Очков репутации: 366

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
[math]\bar{a} (\nabla, \bar {b})=(\bar{b},\nabla')\bar{a}[/math]. Здесь штрих обозначает транспонирование. А в круглых скобках справа стоит матрица, как скалярное произведение вектор-столбца на вектор-строку.

Здесь нет никаких транспонирований, матриц, столбцов и строк. Есть просто векторы с тремя компонентами в стандартном базисе. Равенство [math]( \boldsymbol{a} , \boldsymbol{b} )=( \boldsymbol{b} , \boldsymbol{a} )[/math] не предполагает использования никаких матричных обозначений, это просто свойство симметричности скалярного произведения, а [math]\boldsymbol{a}[/math] и [math]\boldsymbol{b}[/math] здесь - это просто векторы, не строки или столбцы.

Как только стрелкой помечено, на что действует набла, с ней можно обращаться как с обычным вектором. Так что в равенстве
searcher писал(а):
[math]\downarrow \bar{a} (\nabla, \bar {b})= (\bar{b} \nabla) \downarrow \bar{a}[/math].

просто поменяны местами векторы в скалярном произведении, и оно, как формальный скаляр, поставлено впереди вектора [math]\boldsymbol{a}[/math].
searcher писал(а):
Здесь главное понимать, что [math](B \cdot \nabla)[/math] и [math](\nabla \cdot B)[/math] - две большие разницы. (Бегло просмотрел главу. Разъяснения того, что это действительно разные вещи, не нашёл.)

По умолчанию считается, что набла (без стрелочек) действует непосредственно на то, что стоит справа от нее. То есть,

[math]\nabla\cdot \boldsymbol{a} =\frac{\partial a_x}{\partial x}+\frac{\partial a_y}{\partial y}+\frac{\partial a_z}{\partial z}[/math] - это число (функция)

[math]\boldsymbol{a}\cdot\nabla= a_x\frac{\partial }{\partial x}+ a_y\frac{\partial }{\partial y}+ a_z\frac{\partial }{\partial z}[/math] - оператор, который должен действовать на что-то справа от него.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
searcher
 Заголовок сообщения: Re: Формальное жонглирование с наблой (оператором Гамильтона)
СообщениеДобавлено: 12 апр 2017, 20:32 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 3941
Cпасибо сказано: 111
Спасибо получено:
1754 раз в 1461 сообщениях
Очков репутации: 366

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
searcher
 Заголовок сообщения: Re: Формальное жонглирование с наблой (оператором Гамильтона)
СообщениеДобавлено: 12 апр 2017, 20:38 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2193
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
323 раз в 308 сообщениях
Очков репутации: 116

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пока понял вот что. Если в известную формулу [math]a \times (b \times c)=b(a,c)-c(a,b)[/math] формально вместо [math]a[/math] подставить [math]\nabla[/math], то получаем ерунду. А вот если формулу чуток преобразовать [math]a \times (b \times c)=(c,a)b-(a,b)c[/math], то получим правильную формулу [math]\nabla \times (a \times b) = (c \nabla )b - (\nabla, b)c[/math]. Осталось только уточнить, что есть [math](c \nabla)[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Формальное жонглирование с наблой (оператором Гамильтона)
СообщениеДобавлено: 12 апр 2017, 20:41 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2193
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
323 раз в 308 сообщениях
Очков репутации: 116

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):

Спасибо. Пока подозреваю, что для полного прояснения надо использовать тензоры или дифференциальные формы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Формальное жонглирование с наблой (оператором Гамильтона)
СообщениеДобавлено: 12 апр 2017, 21:04 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2193
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
323 раз в 308 сообщениях
Очков репутации: 116

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human
Спасибо. Пока писал что-то своё, появились ваши сообщения. Для меня всё ещё актуален вопрос из первого поста
searcher писал(а):
Подскажите литературу, где было бы доступно объяснено получение формул векторного анализа с помощью формального манипулирования с операторам Гамильтона

Пока понимаю всё это как-то формально. Хотелось бы понять, откуда ноги растут.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Решение задачи про формальное представление отношения сторон

в форуме Геометрия

enakenenaken

8

322

01 фев 2014, 00:07

Доказать справедливость формулы (оператор Гамильтона)

в форуме Векторный анализ и Теория поля

daishev

1

214

20 дек 2011, 19:00

Доказать, используя теорему Гамильтона-Кэли

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

and1

6

638

16 июн 2013, 04:50

Доказть что является линейным оператором

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

mozhik

3

210

19 мар 2012, 20:33

Доказать, что отображение является ортогональным оператором

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

mozhik

3

345

19 мар 2012, 20:28

Оператор дифферецирования является нильпотентым оператором

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

vika_bar

2

136

14 май 2014, 01:22

Является ли линейным оператором следующее отображение

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Anastasia Lemon

13

389

13 апр 2016, 16:55

Как показать, что отображение является линейным оператором?

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

crazymadman18

13

190

06 апр 2017, 15:46


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved