Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
Найти градиент http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=35&t=53154 |
Страница 1 из 2 |
Автор: | LifeDeath [ 22 фев 2017, 21:15 ] |
Заголовок сообщения: | Найти градиент |
[math]\phi[/math] [math]=[/math] [math]e^{-i\vec{ \mathsf{k} }\vec{ \mathsf{r} } }[/math] где [math]\vec{k}[/math] [math]=[/math] [math]k_x{ }[/math][math]\vec{x_o{} }[/math] + [math]k_y{ }[/math][math]\vec{y_o{} }[/math] + [math]k_z{ }[/math][math]\vec{z_o{} }[/math] - постоянный вектор [math]\vec{r}[/math] [math]=[/math] [math]x_{ }[/math][math]\vec{x_o{} }[/math] + [math]y_{ }[/math][math]\vec{y_o{} }[/math] + [math]z_{ }[/math][math]\vec{z_o{} }[/math] - радиус-вектор [math]\mathbf{i}[/math] - мнимая единица Найти выражения для [math]\operatorname{grad} \phi[/math] и [math]\triangle \phi[/math] Подскажите, как решить. Начал изучать эту тему. По сути по формуле градиента проблем не возникало (через частные производные), только не пойму как тут применить. У нас в показателе произведение двух векторов, не пойму как брать частные производные от них. Напрашивается формула Лейбница, но это если бы было просто произведение, а тут показатель. Ответы: [math]\operatorname{grad} \phi[/math] = -i*k*exp(-i*k*r) [math]\triangle \phi[/math] = -k^2 exp(-i*k*r) Спасибо! |
Автор: | searcher [ 23 фев 2017, 10:32 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Найти градиент |
LifeDeath писал(а): Начал изучать эту тему. По сути по формуле градиента проблем не возникало (через частные производные), только не пойму как тут применить. У нас в показателе произведение двух векторов, не пойму как брать частные производные от них. Вот, для начала попробуйте найти градиент от произведения векторов (через частные производные). Для начала запишите это произведение в координатном виде. |
Автор: | LifeDeath [ 23 фев 2017, 14:48 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Найти градиент |
Вот так? [math]\operatorname{grad}\vec{ \mathsf{k} }\vec{ \mathsf{r} }[/math] [math]= \vec{ \mathsf{k} }\operatorname{grad}\vec{ \mathsf{r} } + \vec{ \mathsf{r} }\operatorname{grad}\vec{ \mathsf{k} }[/math] И как потом считать их? Ведь градиент это же оператор над скалярным полем? Может быть так можно еще: [math]\operatorname{grad}\vec{ \mathsf{k} }\vec{ \mathsf{r} }[/math] [math]= \operatorname{grad}\left( k_x{} \mathsf{x} +k_y{} \mathsf{y}+k_z{} \mathsf{z}\right)[/math] = ([math]k_x{}^{'} \mathsf{x} +k_x{}[/math])[math]\vec{x_o{} }[/math]+ ([math]k_y{}^{'} \mathsf{y} +k_y{}[/math])[math]\vec{y_o{} }[/math]+ ([math]k_z{}^{'} \mathsf{z} +k_z{}[/math])[math]\vec{z_o{} }[/math] Но что делать дальше? Плюс тут получились производные компонент вектора k которые мы не знаем и которых в ответе быть не должно. |
Автор: | searcher [ 23 фев 2017, 15:48 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Найти градиент |
LifeDeath писал(а): Вот так? Нет. Вы видите разницу между двумя этими векторами? Один из них постоянный, а второй переменный. У вас же они оба переменные. А так, идея правильная. |
Автор: | LifeDeath [ 23 фев 2017, 15:57 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Найти градиент |
Я не понимаю просто чем отличаются, я думал просто в условии так сказано, а в вычислениях как обычные векторы себя ведут. То есть в первом варианте идея правильная? Только я пока вообще не представляю что делать. Может быть потому что не понимаю как ведет себя в вычислениях "постоянный" вектор. Первый раз с таким сталкиваюсь. |
Автор: | searcher [ 23 фев 2017, 17:51 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Найти градиент |
LifeDeath писал(а): То есть в первом варианте идея правильная? Правильная. Как и во втором варианте тоже. LifeDeath писал(а): Может быть потому что не понимаю как ведет себя в вычислениях "постоянный" вектор. Частные производные и градиент от постоянного вектора нулевые. LifeDeath писал(а): Только я пока вообще не представляю что делать. Продолжите ваши вычисления, имея в виду, что кое-что обратится в ноль. |
Автор: | LifeDeath [ 23 фев 2017, 18:15 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Найти градиент |
Вроде получается, если во втором обратить в нуль производные k, спасибо! А вот в первом способе получается [math]\operatorname{grad} \phi[/math]= [math]e^{-i\vec{ \mathsf{k} }\vec{ \mathsf{r} } }[/math](-i)([math]\vec{k_{} }[/math]([math]\vec{x_o{} }[/math]+[math]\vec{y_o{} }[/math]+[math]\vec{z_o{} }[/math])) То есть одно слагаемое обращается в нуль а второе это вектор k умножить на градиент r, который получается равен сумме единичных векторов, и не понимаю как делать дальше. |
Автор: | searcher [ 23 фев 2017, 18:55 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Найти градиент |
LifeDeath писал(а): Вот так? [math]\operatorname{grad}\vec{ \mathsf{k} }\vec{ \mathsf{r} }[/math] [math]= \vec{ \mathsf{k} }\operatorname{grad}\vec{ \mathsf{r} } + \vec{ \mathsf{r} }\operatorname{grad}\vec{ \mathsf{k} }[/math] И как потом считать их? Ведь градиент это же оператор над скалярным полем? Я извиняюсь. Это неправильно. Слева и справа должны быть вектора. (И как вы сами писали, градиент считается от скалярного поля. а не от векторного). Там справа должен быть просто постоянный вектор [math]\vec{k}[/math]. |
Автор: | searcher [ 23 фев 2017, 18:57 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Найти градиент |
Что касается второго задания про лапласиан, то может быть получится взять дивергенцию от градиента (это и есть лапласиан). (Учитывая, что [math]\operatorname{div} \vec{k}=0[/math].) Вероятно, справедлива формула [math]\operatorname{div} a \vec{z} = (\operatorname{grad} a, \vec{z})[/math], где [math]a[/math] - переменный скаляр, [math]\vec{z}[/math] - постоянный вектор, круглые скобки - скалярное произведение. |
Автор: | LifeDeath [ 24 фев 2017, 14:14 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Найти градиент |
searcher писал(а): Я извиняюсь. Это неправильно. Слева и справа должны быть вектора. (И как вы сами писали, градиент считается от скалярного поля. а не от векторного). Там справа должен быть просто постоянный вектор [math]\vec{ \boldsymbol{k} }[/math] Прошу прощения за тупость, но я не понимаю. Разве нельзя по правилу Лейбница так написать как я сделал? Просто останется только первое слагаемое, потому что второе равно нулю, так как градиент постоянного вектора нулевой. Только вопрос в том как дальше считать по этой формуле. |
Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |