Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти градиент
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=35&t=53154
Страница 1 из 2

Автор:  LifeDeath [ 22 фев 2017, 21:15 ]
Заголовок сообщения:  Найти градиент

[math]\phi[/math] [math]=[/math] [math]e^{-i\vec{ \mathsf{k} }\vec{ \mathsf{r} } }[/math]

где [math]\vec{k}[/math] [math]=[/math] [math]k_x{ }[/math][math]\vec{x_o{} }[/math] + [math]k_y{ }[/math][math]\vec{y_o{} }[/math] + [math]k_z{ }[/math][math]\vec{z_o{} }[/math] - постоянный вектор
[math]\vec{r}[/math] [math]=[/math] [math]x_{ }[/math][math]\vec{x_o{} }[/math] + [math]y_{ }[/math][math]\vec{y_o{} }[/math] + [math]z_{ }[/math][math]\vec{z_o{} }[/math] - радиус-вектор
[math]\mathbf{i}[/math] - мнимая единица

Найти выражения для [math]\operatorname{grad} \phi[/math] и [math]\triangle \phi[/math]

Подскажите, как решить. Начал изучать эту тему. По сути по формуле градиента проблем не возникало (через частные производные), только не пойму как тут применить. У нас в показателе произведение двух векторов, не пойму как брать частные производные от них. Напрашивается формула Лейбница, но это если бы было просто произведение, а тут показатель.

Ответы:
[math]\operatorname{grad} \phi[/math] = -i*k*exp(-i*k*r)
[math]\triangle \phi[/math] = -k^2 exp(-i*k*r)

Спасибо!

Автор:  searcher [ 23 фев 2017, 10:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти градиент

LifeDeath писал(а):
Начал изучать эту тему. По сути по формуле градиента проблем не возникало (через частные производные), только не пойму как тут применить. У нас в показателе произведение двух векторов, не пойму как брать частные производные от них.

Вот, для начала попробуйте найти градиент от произведения векторов (через частные производные). Для начала запишите это произведение в координатном виде.

Автор:  LifeDeath [ 23 фев 2017, 14:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти градиент

Вот так?
[math]\operatorname{grad}\vec{ \mathsf{k} }\vec{ \mathsf{r} }[/math] [math]= \vec{ \mathsf{k} }\operatorname{grad}\vec{ \mathsf{r} } + \vec{ \mathsf{r} }\operatorname{grad}\vec{ \mathsf{k} }[/math]
И как потом считать их? Ведь градиент это же оператор над скалярным полем?

Может быть так можно еще:
[math]\operatorname{grad}\vec{ \mathsf{k} }\vec{ \mathsf{r} }[/math] [math]= \operatorname{grad}\left( k_x{} \mathsf{x} +k_y{} \mathsf{y}+k_z{} \mathsf{z}\right)[/math] = ([math]k_x{}^{'} \mathsf{x} +k_x{}[/math])[math]\vec{x_o{} }[/math]+ ([math]k_y{}^{'} \mathsf{y} +k_y{}[/math])[math]\vec{y_o{} }[/math]+ ([math]k_z{}^{'} \mathsf{z} +k_z{}[/math])[math]\vec{z_o{} }[/math]
Но что делать дальше? Плюс тут получились производные компонент вектора k которые мы не знаем и которых в ответе быть не должно.

Автор:  searcher [ 23 фев 2017, 15:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти градиент

LifeDeath писал(а):
Вот так?

Нет. Вы видите разницу между двумя этими векторами? Один из них постоянный, а второй переменный. У вас же они оба переменные. А так, идея правильная.

Автор:  LifeDeath [ 23 фев 2017, 15:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти градиент

Я не понимаю просто чем отличаются, я думал просто в условии так сказано, а в вычислениях как обычные векторы себя ведут. То есть в первом варианте идея правильная? Только я пока вообще не представляю что делать. Может быть потому что не понимаю как ведет себя в вычислениях "постоянный" вектор. Первый раз с таким сталкиваюсь.

Автор:  searcher [ 23 фев 2017, 17:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти градиент

LifeDeath писал(а):
То есть в первом варианте идея правильная?

Правильная. Как и во втором варианте тоже.
LifeDeath писал(а):
Может быть потому что не понимаю как ведет себя в вычислениях "постоянный" вектор.

Частные производные и градиент от постоянного вектора нулевые.
LifeDeath писал(а):
Только я пока вообще не представляю что делать.

Продолжите ваши вычисления, имея в виду, что кое-что обратится в ноль.

Автор:  LifeDeath [ 23 фев 2017, 18:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти градиент

Вроде получается, если во втором обратить в нуль производные k, спасибо!
А вот в первом способе получается [math]\operatorname{grad} \phi[/math]= [math]e^{-i\vec{ \mathsf{k} }\vec{ \mathsf{r} } }[/math](-i)([math]\vec{k_{} }[/math]([math]\vec{x_o{} }[/math]+[math]\vec{y_o{} }[/math]+[math]\vec{z_o{} }[/math]))
То есть одно слагаемое обращается в нуль а второе это вектор k умножить на градиент r, который получается равен сумме единичных векторов, и не понимаю как делать дальше.

Автор:  searcher [ 23 фев 2017, 18:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти градиент

LifeDeath писал(а):
Вот так?
[math]\operatorname{grad}\vec{ \mathsf{k} }\vec{ \mathsf{r} }[/math] [math]= \vec{ \mathsf{k} }\operatorname{grad}\vec{ \mathsf{r} } + \vec{ \mathsf{r} }\operatorname{grad}\vec{ \mathsf{k} }[/math]
И как потом считать их? Ведь градиент это же оператор над скалярным полем?

Я извиняюсь. Это неправильно. Слева и справа должны быть вектора. (И как вы сами писали, градиент считается от скалярного поля. а не от векторного). Там справа должен быть просто постоянный вектор [math]\vec{k}[/math].

Автор:  searcher [ 23 фев 2017, 18:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти градиент

Что касается второго задания про лапласиан, то может быть получится взять дивергенцию от градиента (это и есть лапласиан). (Учитывая, что [math]\operatorname{div} \vec{k}=0[/math].) Вероятно, справедлива формула [math]\operatorname{div} a \vec{z} = (\operatorname{grad} a, \vec{z})[/math], где [math]a[/math] - переменный скаляр, [math]\vec{z}[/math] - постоянный вектор, круглые скобки - скалярное произведение.

Автор:  LifeDeath [ 24 фев 2017, 14:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти градиент

searcher писал(а):
Я извиняюсь. Это неправильно. Слева и справа должны быть вектора. (И как вы сами писали, градиент считается от скалярного поля. а не от векторного). Там справа должен быть просто постоянный вектор [math]\vec{ \boldsymbol{k} }[/math]

Прошу прощения за тупость, но я не понимаю.
Изображение
Разве нельзя по правилу Лейбница так написать как я сделал? Просто останется только первое слагаемое, потому что второе равно нулю, так как градиент постоянного вектора нулевой. Только вопрос в том как дальше считать по этой формуле.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/