Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 14 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
LifeDeath |
|
|
где [math]\vec{k}[/math] [math]=[/math] [math]k_x{ }[/math][math]\vec{x_o{} }[/math] + [math]k_y{ }[/math][math]\vec{y_o{} }[/math] + [math]k_z{ }[/math][math]\vec{z_o{} }[/math] - постоянный вектор [math]\vec{r}[/math] [math]=[/math] [math]x_{ }[/math][math]\vec{x_o{} }[/math] + [math]y_{ }[/math][math]\vec{y_o{} }[/math] + [math]z_{ }[/math][math]\vec{z_o{} }[/math] - радиус-вектор [math]\mathbf{i}[/math] - мнимая единица Найти выражения для [math]\operatorname{grad} \phi[/math] и [math]\triangle \phi[/math] Подскажите, как решить. Начал изучать эту тему. По сути по формуле градиента проблем не возникало (через частные производные), только не пойму как тут применить. У нас в показателе произведение двух векторов, не пойму как брать частные производные от них. Напрашивается формула Лейбница, но это если бы было просто произведение, а тут показатель. Ответы: [math]\operatorname{grad} \phi[/math] = -i*k*exp(-i*k*r) [math]\triangle \phi[/math] = -k^2 exp(-i*k*r) Спасибо! |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
LifeDeath писал(а): Начал изучать эту тему. По сути по формуле градиента проблем не возникало (через частные производные), только не пойму как тут применить. У нас в показателе произведение двух векторов, не пойму как брать частные производные от них. Вот, для начала попробуйте найти градиент от произведения векторов (через частные производные). Для начала запишите это произведение в координатном виде. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали: LifeDeath |
||
LifeDeath |
|
|
Вот так?
[math]\operatorname{grad}\vec{ \mathsf{k} }\vec{ \mathsf{r} }[/math] [math]= \vec{ \mathsf{k} }\operatorname{grad}\vec{ \mathsf{r} } + \vec{ \mathsf{r} }\operatorname{grad}\vec{ \mathsf{k} }[/math] И как потом считать их? Ведь градиент это же оператор над скалярным полем? Может быть так можно еще: [math]\operatorname{grad}\vec{ \mathsf{k} }\vec{ \mathsf{r} }[/math] [math]= \operatorname{grad}\left( k_x{} \mathsf{x} +k_y{} \mathsf{y}+k_z{} \mathsf{z}\right)[/math] = ([math]k_x{}^{'} \mathsf{x} +k_x{}[/math])[math]\vec{x_o{} }[/math]+ ([math]k_y{}^{'} \mathsf{y} +k_y{}[/math])[math]\vec{y_o{} }[/math]+ ([math]k_z{}^{'} \mathsf{z} +k_z{}[/math])[math]\vec{z_o{} }[/math] Но что делать дальше? Плюс тут получились производные компонент вектора k которые мы не знаем и которых в ответе быть не должно. |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
LifeDeath писал(а): Вот так? Нет. Вы видите разницу между двумя этими векторами? Один из них постоянный, а второй переменный. У вас же они оба переменные. А так, идея правильная. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали: LifeDeath |
||
LifeDeath |
|
|
Я не понимаю просто чем отличаются, я думал просто в условии так сказано, а в вычислениях как обычные векторы себя ведут. То есть в первом варианте идея правильная? Только я пока вообще не представляю что делать. Может быть потому что не понимаю как ведет себя в вычислениях "постоянный" вектор. Первый раз с таким сталкиваюсь.
|
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
LifeDeath писал(а): То есть в первом варианте идея правильная? Правильная. Как и во втором варианте тоже. LifeDeath писал(а): Может быть потому что не понимаю как ведет себя в вычислениях "постоянный" вектор. Частные производные и градиент от постоянного вектора нулевые. LifeDeath писал(а): Только я пока вообще не представляю что делать. Продолжите ваши вычисления, имея в виду, что кое-что обратится в ноль. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали: LifeDeath |
||
LifeDeath |
|
|
Вроде получается, если во втором обратить в нуль производные k, спасибо!
А вот в первом способе получается [math]\operatorname{grad} \phi[/math]= [math]e^{-i\vec{ \mathsf{k} }\vec{ \mathsf{r} } }[/math](-i)([math]\vec{k_{} }[/math]([math]\vec{x_o{} }[/math]+[math]\vec{y_o{} }[/math]+[math]\vec{z_o{} }[/math])) То есть одно слагаемое обращается в нуль а второе это вектор k умножить на градиент r, который получается равен сумме единичных векторов, и не понимаю как делать дальше. |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
LifeDeath писал(а): Вот так? [math]\operatorname{grad}\vec{ \mathsf{k} }\vec{ \mathsf{r} }[/math] [math]= \vec{ \mathsf{k} }\operatorname{grad}\vec{ \mathsf{r} } + \vec{ \mathsf{r} }\operatorname{grad}\vec{ \mathsf{k} }[/math] И как потом считать их? Ведь градиент это же оператор над скалярным полем? Я извиняюсь. Это неправильно. Слева и справа должны быть вектора. (И как вы сами писали, градиент считается от скалярного поля. а не от векторного). Там справа должен быть просто постоянный вектор [math]\vec{k}[/math]. Последний раз редактировалось searcher 23 фев 2017, 18:59, всего редактировалось 1 раз. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали: LifeDeath |
||
searcher |
|
|
Что касается второго задания про лапласиан, то может быть получится взять дивергенцию от градиента (это и есть лапласиан). (Учитывая, что [math]\operatorname{div} \vec{k}=0[/math].) Вероятно, справедлива формула [math]\operatorname{div} a \vec{z} = (\operatorname{grad} a, \vec{z})[/math], где [math]a[/math] - переменный скаляр, [math]\vec{z}[/math] - постоянный вектор, круглые скобки - скалярное произведение.
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали: LifeDeath |
||
LifeDeath |
|
|
searcher писал(а): Я извиняюсь. Это неправильно. Слева и справа должны быть вектора. (И как вы сами писали, градиент считается от скалярного поля. а не от векторного). Там справа должен быть просто постоянный вектор [math]\vec{ \boldsymbol{k} }[/math] Прошу прощения за тупость, но я не понимаю. Разве нельзя по правилу Лейбница так написать как я сделал? Просто останется только первое слагаемое, потому что второе равно нулю, так как градиент постоянного вектора нулевой. Только вопрос в том как дальше считать по этой формуле. |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 14 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 14 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |