Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти градиент
СообщениеДобавлено: 22 фев 2017, 22:15 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 сен 2015, 20:34
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\phi[/math] [math]=[/math] [math]e^{-i\vec{ \mathsf{k} }\vec{ \mathsf{r} } }[/math]

где [math]\vec{k}[/math] [math]=[/math] [math]k_x{ }[/math][math]\vec{x_o{} }[/math] + [math]k_y{ }[/math][math]\vec{y_o{} }[/math] + [math]k_z{ }[/math][math]\vec{z_o{} }[/math] - постоянный вектор
[math]\vec{r}[/math] [math]=[/math] [math]x_{ }[/math][math]\vec{x_o{} }[/math] + [math]y_{ }[/math][math]\vec{y_o{} }[/math] + [math]z_{ }[/math][math]\vec{z_o{} }[/math] - радиус-вектор
[math]\mathbf{i}[/math] - мнимая единица

Найти выражения для [math]\operatorname{grad} \phi[/math] и [math]\triangle \phi[/math]

Подскажите, как решить. Начал изучать эту тему. По сути по формуле градиента проблем не возникало (через частные производные), только не пойму как тут применить. У нас в показателе произведение двух векторов, не пойму как брать частные производные от них. Напрашивается формула Лейбница, но это если бы было просто произведение, а тут показатель.

Ответы:
[math]\operatorname{grad} \phi[/math] = -i*k*exp(-i*k*r)
[math]\triangle \phi[/math] = -k^2 exp(-i*k*r)

Спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти градиент
СообщениеДобавлено: 23 фев 2017, 11:32 
В сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2370
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
340 раз в 325 сообщениях
Очков репутации: 118

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
LifeDeath писал(а):
Начал изучать эту тему. По сути по формуле градиента проблем не возникало (через частные производные), только не пойму как тут применить. У нас в показателе произведение двух векторов, не пойму как брать частные производные от них.

Вот, для начала попробуйте найти градиент от произведения векторов (через частные производные). Для начала запишите это произведение в координатном виде.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
LifeDeath
 Заголовок сообщения: Re: Найти градиент
СообщениеДобавлено: 23 фев 2017, 15:48 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 сен 2015, 20:34
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот так?
[math]\operatorname{grad}\vec{ \mathsf{k} }\vec{ \mathsf{r} }[/math] [math]= \vec{ \mathsf{k} }\operatorname{grad}\vec{ \mathsf{r} } + \vec{ \mathsf{r} }\operatorname{grad}\vec{ \mathsf{k} }[/math]
И как потом считать их? Ведь градиент это же оператор над скалярным полем?

Может быть так можно еще:
[math]\operatorname{grad}\vec{ \mathsf{k} }\vec{ \mathsf{r} }[/math] [math]= \operatorname{grad}\left( k_x{} \mathsf{x} +k_y{} \mathsf{y}+k_z{} \mathsf{z}\right)[/math] = ([math]k_x{}^{'} \mathsf{x} +k_x{}[/math])[math]\vec{x_o{} }[/math]+ ([math]k_y{}^{'} \mathsf{y} +k_y{}[/math])[math]\vec{y_o{} }[/math]+ ([math]k_z{}^{'} \mathsf{z} +k_z{}[/math])[math]\vec{z_o{} }[/math]
Но что делать дальше? Плюс тут получились производные компонент вектора k которые мы не знаем и которых в ответе быть не должно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти градиент
СообщениеДобавлено: 23 фев 2017, 16:48 
В сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2370
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
340 раз в 325 сообщениях
Очков репутации: 118

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
LifeDeath писал(а):
Вот так?

Нет. Вы видите разницу между двумя этими векторами? Один из них постоянный, а второй переменный. У вас же они оба переменные. А так, идея правильная.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
LifeDeath
 Заголовок сообщения: Re: Найти градиент
СообщениеДобавлено: 23 фев 2017, 16:57 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 сен 2015, 20:34
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я не понимаю просто чем отличаются, я думал просто в условии так сказано, а в вычислениях как обычные векторы себя ведут. То есть в первом варианте идея правильная? Только я пока вообще не представляю что делать. Может быть потому что не понимаю как ведет себя в вычислениях "постоянный" вектор. Первый раз с таким сталкиваюсь.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти градиент
СообщениеДобавлено: 23 фев 2017, 18:51 
В сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2370
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
340 раз в 325 сообщениях
Очков репутации: 118

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
LifeDeath писал(а):
То есть в первом варианте идея правильная?

Правильная. Как и во втором варианте тоже.
LifeDeath писал(а):
Может быть потому что не понимаю как ведет себя в вычислениях "постоянный" вектор.

Частные производные и градиент от постоянного вектора нулевые.
LifeDeath писал(а):
Только я пока вообще не представляю что делать.

Продолжите ваши вычисления, имея в виду, что кое-что обратится в ноль.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
LifeDeath
 Заголовок сообщения: Re: Найти градиент
СообщениеДобавлено: 23 фев 2017, 19:15 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 сен 2015, 20:34
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вроде получается, если во втором обратить в нуль производные k, спасибо!
А вот в первом способе получается [math]\operatorname{grad} \phi[/math]= [math]e^{-i\vec{ \mathsf{k} }\vec{ \mathsf{r} } }[/math](-i)([math]\vec{k_{} }[/math]([math]\vec{x_o{} }[/math]+[math]\vec{y_o{} }[/math]+[math]\vec{z_o{} }[/math]))
То есть одно слагаемое обращается в нуль а второе это вектор k умножить на градиент r, который получается равен сумме единичных векторов, и не понимаю как делать дальше.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти градиент
СообщениеДобавлено: 23 фев 2017, 19:55 
В сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2370
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
340 раз в 325 сообщениях
Очков репутации: 118

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
LifeDeath писал(а):
Вот так?
[math]\operatorname{grad}\vec{ \mathsf{k} }\vec{ \mathsf{r} }[/math] [math]= \vec{ \mathsf{k} }\operatorname{grad}\vec{ \mathsf{r} } + \vec{ \mathsf{r} }\operatorname{grad}\vec{ \mathsf{k} }[/math]
И как потом считать их? Ведь градиент это же оператор над скалярным полем?

Я извиняюсь. Это неправильно. Слева и справа должны быть вектора. (И как вы сами писали, градиент считается от скалярного поля. а не от векторного). Там справа должен быть просто постоянный вектор [math]\vec{k}[/math].


Последний раз редактировалось searcher 23 фев 2017, 19:59, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
LifeDeath
 Заголовок сообщения: Re: Найти градиент
СообщениеДобавлено: 23 фев 2017, 19:57 
В сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2370
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
340 раз в 325 сообщениях
Очков репутации: 118

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Что касается второго задания про лапласиан, то может быть получится взять дивергенцию от градиента (это и есть лапласиан). (Учитывая, что [math]\operatorname{div} \vec{k}=0[/math].) Вероятно, справедлива формула [math]\operatorname{div} a \vec{z} = (\operatorname{grad} a, \vec{z})[/math], где [math]a[/math] - переменный скаляр, [math]\vec{z}[/math] - постоянный вектор, круглые скобки - скалярное произведение.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
LifeDeath
 Заголовок сообщения: Re: Найти градиент
СообщениеДобавлено: 24 фев 2017, 15:14 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 сен 2015, 20:34
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Я извиняюсь. Это неправильно. Слева и справа должны быть вектора. (И как вы сами писали, градиент считается от скалярного поля. а не от векторного). Там справа должен быть просто постоянный вектор [math]\vec{ \boldsymbol{k} }[/math]

Прошу прощения за тупость, но я не понимаю.
Изображение
Разве нельзя по правилу Лейбница так написать как я сделал? Просто останется только первое слагаемое, потому что второе равно нулю, так как градиент постоянного вектора нулевой. Только вопрос в том как дальше считать по этой формуле.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти градиент

в форуме Дифференциальное исчисление

andrey428

5

364

27 мар 2012, 17:06

Найти дифференциал и градиент

в форуме Дифференциальное исчисление

colnce

3

201

23 янв 2015, 19:13

Найти градиент в точке

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Richmond

1

477

31 мар 2014, 20:05

Найти градиент функции в точке

в форуме Векторный анализ и Теория поля

lady111

4

477

16 дек 2013, 17:56

Найти дивергенцию,градиент и ротор

в форуме Векторный анализ и Теория поля

pspfreez

5

936

29 ноя 2013, 11:43

Найти градиент скалярного поля

в форуме Векторный анализ и Теория поля

aimira

2

1073

12 апр 2013, 20:39

Найти градиент скалярного поля

в форуме Векторный анализ и Теория поля

KPUK7773

0

422

15 май 2013, 10:21

Найти градиент и производную по направлению

в форуме Векторный анализ и Теория поля

makc59

3

775

07 фев 2014, 16:06

Задана функция z=f(x,y). Найти градиент и производную

в форуме Дифференциальное исчисление

Cannibal

3

896

26 апр 2012, 08:56

Найти полный дифференциал и градиент в точке

в форуме Дифференциальное исчисление

AnnaUmnova

14

695

07 фев 2015, 19:19


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved