Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 6 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
A_Dnonskoi |
|
|
[math]s=x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}[/math], [math]x\leqslant 0[/math] [math]y\geqslant0[/math] [math]z\leqslant 0[/math] По Теореме Гаусса: [math]\Phi =\iiint\limits_{ V }div(a)dv,[/math] [math]div(\vec{a})=2(x+y+z)[/math] В сферической системе: [math]x=rsin \theta cos \varphi[/math] [math]y=rsin \theta sin \varphi[/math] [math]z=r\cos{\theta}[/math] [math]J=r^{2}sin \theta[/math] [math]\Phi =\iiint\limits_{ V }div(a)dv=2\int\limits_{\frac{ \pi }{ 2 } }^{\pi}d \varphi \int\limits_{\frac{ \pi }{ 2 } }^{\pi}d \theta \int\limits_{0}^{R}r^{3}sin \theta (sin \theta cos \varphi +sin \theta sin \varphi +cos \theta) dr =-\frac{ \pi R^{4} }{ 8 }[/math] Как найти поток через остальные 3 области? Если поток через них равен 0 то почему? |
||
Вернуться к началу | ||
venjar |
|
|
Теорема Гаусса дает поток по всей замкнутой поверхности, которая включает все 4 поверхности.
|
||
Вернуться к началу | ||
A_Dnonskoi |
|
|
1) Понял, что вопрос сформулировал не правильно. Если найден полный поток то как найти конкретно через октант сферы? Вычесть из полного потока поток через боковые поверхности?
2) Пересмотрел решение, при данном условии интегрирование по тета должно идти от 0 до [math]\pi |2[/math]. Ответ тогда положителен |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
Здесь легко вычисляется интеграл по части сферы
[math]I = \iint\limits_S{{x^2}dydz +{y^2}dxdz +{z^2}dxdy}[/math] В силу симметрии. получим [math]I = 3\iint\limits_S{{z^2}dxdy}= 3\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}{d\varphi}\int\limits_0^R{\left({{R^2}-{r^2}}\right)rdr}= \ldots[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: A_Dnonskoi |
||
A_Dnonskoi |
|
|
[math]3\frac{ \pi R^{4}}{ 8 }[/math]. При том, что поток через всю замкнутую поверхность [math]-\frac{ \pi R^{4}}{ 8 }[/math]. Все верно?
|
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
К сожалению, я невнимательно прочитал условие задачи. Мне показалось что речь идёт о части поверхности сферы, расположенной в первом октанте, а на самом деле надо было рассматривать другой октант. Поэтому два интеграла
[math]\iint\limits_S{{x^2}dydz}[/math], [math]\iint\limits_S{{z^2}dydx}[/math] отрицательны, а интеграл [math]\iint\limits_S{{y^2}dydz}[/math] положителен. Поэтому остаётся один интеграл(а не 3). Ответ: [math]-\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}{d\varphi \int\limits_0^R{\left({{R^2}-{r^2}}\right)rdr}}=- \frac{{\pi{R^4}}}{8}[/math] Интеграл по всей поверхности такой же. Интегралы по плоским (боковым) частям равны нулю. Например, рассмотрим плоскость [math]z=0[/math]. На этой плоскости векторное поле равно [math]\overline a ={x^2}\overline i +{y^2}\overline j[/math], что перпендикулярно нормали [math]\overline k[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: A_Dnonskoi |
||
[ Сообщений: 6 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |