Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Поток через поверхность
СообщениеДобавлено: 26 дек 2015, 16:27 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
26 дек 2015, 15:19
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Имеется задача: Найти поток векторного поля [math]\vec{a} =ix^{2}+jy^{2}+kz^{2}[/math] через поверхность
[math]s=x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}[/math],
[math]x\leqslant 0[/math]
[math]y\geqslant0[/math]
[math]z\leqslant 0[/math]
По Теореме Гаусса: [math]\Phi =\iiint\limits_{ V }div(a)dv,[/math]
[math]div(\vec{a})=2(x+y+z)[/math]
В сферической системе:
[math]x=rsin \theta cos \varphi[/math]
[math]y=rsin \theta sin \varphi[/math]
[math]z=r\cos{\theta}[/math]
[math]J=r^{2}sin \theta[/math]
[math]\Phi =\iiint\limits_{ V }div(a)dv=2\int\limits_{\frac{ \pi }{ 2 } }^{\pi}d \varphi \int\limits_{\frac{ \pi }{ 2 } }^{\pi}d \theta \int\limits_{0}^{R}r^{3}sin \theta (sin \theta cos \varphi +sin \theta sin \varphi +cos \theta) dr =-\frac{ \pi R^{4} }{ 8 }[/math]
Как найти поток через остальные 3 области? Если поток через них равен 0 то почему?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поток через поверхность
СообщениеДобавлено: 26 дек 2015, 16:38 
Не в сети
доцент
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 19:19
Сообщений: 3370
Cпасибо сказано: 571
Спасибо получено:
1000 раз в 861 сообщениях
Очков репутации: 153

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Теорема Гаусса дает поток по всей замкнутой поверхности, которая включает все 4 поверхности.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поток через поверхность
СообщениеДобавлено: 26 дек 2015, 17:55 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
26 дек 2015, 15:19
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1) Понял, что вопрос сформулировал не правильно. Если найден полный поток то как найти конкретно через октант сферы? Вычесть из полного потока поток через боковые поверхности?
2) Пересмотрел решение, при данном условии интегрирование по тета должно идти от 0 до [math]\pi |2[/math]. Ответ тогда положителен

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поток через поверхность
СообщениеДобавлено: 27 дек 2015, 19:48 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здесь легко вычисляется интеграл по части сферы
[math]I = \iint\limits_S{{x^2}dydz +{y^2}dxdz +{z^2}dxdy}[/math]
В силу симметрии. получим
[math]I = 3\iint\limits_S{{z^2}dxdy}= 3\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}{d\varphi}\int\limits_0^R{\left({{R^2}-{r^2}}\right)rdr}= \ldots[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
A_Dnonskoi
 Заголовок сообщения: Re: Поток через поверхность
СообщениеДобавлено: 28 дек 2015, 15:05 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
26 дек 2015, 15:19
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]3\frac{ \pi R^{4}}{ 8 }[/math]. При том, что поток через всю замкнутую поверхность [math]-\frac{ \pi R^{4}}{ 8 }[/math]. Все верно? :(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поток через поверхность
СообщениеДобавлено: 28 дек 2015, 18:21 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
К сожалению, я невнимательно прочитал условие задачи. Мне показалось что речь идёт о части поверхности сферы, расположенной в первом октанте, а на самом деле надо было рассматривать другой октант. Поэтому два интеграла
[math]\iint\limits_S{{x^2}dydz}[/math], [math]\iint\limits_S{{z^2}dydx}[/math]
отрицательны, а интеграл
[math]\iint\limits_S{{y^2}dydz}[/math]
положителен. Поэтому остаётся один интеграл(а не 3).
Ответ:
[math]-\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}{d\varphi \int\limits_0^R{\left({{R^2}-{r^2}}\right)rdr}}=- \frac{{\pi{R^4}}}{8}[/math]
Интеграл по всей поверхности такой же. Интегралы по плоским (боковым) частям равны нулю. Например, рассмотрим плоскость [math]z=0[/math]. На этой плоскости векторное поле равно [math]\overline a ={x^2}\overline i +{y^2}\overline j[/math], что перпендикулярно нормали [math]\overline k[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
A_Dnonskoi
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти поток через поверхность

в форуме Интегральное исчисление

kst24124

2

194

01 июл 2020, 18:18

Поток вектора через поверхность

в форуме Векторный анализ и Теория поля

identam

2

302

29 апр 2020, 10:45

Поток векторного поля через поверхность

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Kaori

1

381

03 апр 2020, 19:56

Поток векторного поля через поверхность

в форуме Векторный анализ и Теория поля

honey

1

294

07 май 2020, 22:23

Поток векторного поля через поверхность

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Alina20092009

22

944

22 май 2020, 14:22

Найти поток вектора через поверхность

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Miir

13

597

06 дек 2020, 19:28

Поток вектора через замкнутую поверхность

в форуме Векторный анализ и Теория поля

TeslaNeNicola

7

368

23 окт 2021, 19:01

Найти поток векторного поля через поверхность

в форуме Векторный анализ и Теория поля

EVO_X

0

679

23 дек 2015, 18:52

Поток вектора напряженности через поверхность куба

в форуме Электричество и Магнетизм

marii

2

422

14 янв 2021, 20:38

Поток векторного поля через замкнутую поверхность

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Tilyam

0

874

14 янв 2015, 11:23


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved