Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
makc59 |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
Yurik |
|
|
Вернуться к началу | ||
makc59 |
|
|
Правильно ли я решил?
Для функции [math]\[z = \ln \left({5{x^2}+ 2{y^2}}\right)\][/math] в точке [math]\[A\left({- 2;5}\right)\][/math] найти градиент и производную по направлению [math]\[\vec a = 5 \cdot \vec i - 2 \cdot \vec j\][/math] Найдём градиент функции z [math]\[\begin{array}{l}gradz = \frac{d}{{dx}}\ln \left({5{x^2}+ 2{y^2}}\right)\overrightarrow i + \frac{d}{{dy}}\ln \left({5{x^2}+ 2{y^2}}\right)\overrightarrow{j =}\\ = \frac{{\overrightarrow i}}{{\left({5{x^2}+ 2{y^2}}\right)}}\frac{d}{{dx}}\left({5{x^2}+ 2{y^2}}\right) + \frac{{\overrightarrow j}}{{\left({5{x^2}+ 2{y^2}}\right)}}\frac{d}{{dy}}\left({5{x^2}+ 2{y^2}}\right) = \\ = \frac{{10x\overrightarrow i}}{{5{x^2}+ 2{y^2}}}+ \frac{{4y\overrightarrow j}}{{5{x^2}+ 2{y^2}}}= \frac{{10x\overrightarrow i + 4y\overrightarrow j}}{{5{x^2}+ 2{y^2}}}; \end{array}\][/math] Найдём градиент функции z в точке A [math]\[gradz(A) = \frac{{10( - 2)\overrightarrow i + 4 \cdot 5\overrightarrow j}}{{5 \cdot{{( - 2)}^2}+ 2{5^2}}}= \frac{{- 20\overrightarrow i + 20\overrightarrow j}}{{20 + 50}}= - \frac{{20}}{{70}}\overrightarrow i + \frac{{20}}{{70}}\overrightarrow j = - \frac{2}{7}\overrightarrow i + \frac{2}{7}\overrightarrow j = \left({- \frac{2}{7};\frac{2}{7}}\right);\][/math] Найдём орт вектора а [math]\[{\vec a^\bigcirc}= \frac{{\vec a}}{{\left|{\vec a}\right|}}= \frac{{5\overrightarrow i - 2\overrightarrow j}}{{\sqrt{{5^2}-{2^2}}}}= \frac{{5\overrightarrow i - 2\overrightarrow j}}{{\sqrt{21}}}= \frac{5}{{\sqrt{21}}}\overrightarrow i - \frac{2}{{\sqrt{21}}}\overrightarrow j = \left({\frac{5}{{\sqrt{21}}}; - \frac{2}{{\sqrt{21}}}}\right)\][/math] Вычислим производную функции z в точке по направлению вектора а [math]\[\frac{{dz(A)}}{{d\overrightarrow a}}= \langle gradz(A),{\vec a^\bigcirc}\rangle = - \frac{2}{7}\cdot \frac{5}{{\sqrt{21}}}- \frac{2}{7}\cdot \frac{{- 2}}{{\sqrt{21}}}= - \frac{{10}}{{7\sqrt{21}}}- \frac{4}{{7\sqrt{21}}}= - \frac{{14}}{{7\sqrt{21}}}= - \frac{2}{{\sqrt{21}}};\][/math] [math]\[\frac{{dz}}{{d\overrightarrow a}}={\left({\frac{{dz}}{{dx}}}\right)_A}\cdot \cos \alpha +{\left({\frac{{dz}}{{dy}}}\right)_A}\cdot \cos \beta \][/math] где cosα, cosβ – направленные косинусы вектора , которые вычисляются по формулам: [math]\[\cos \alpha = \frac{{{a_x}}}{{\left|{\overrightarrow a}\right|}};\cos \beta = \frac{{{a_y}}}{{\left|{\overrightarrow a}\right|}};\][/math] По условию задан вектор [math]\[\vec a = 5 \cdot \vec i - 2 \cdot \vec j\][/math] имеет координаты: [math]\[{a_x}= 5;{a_y}= - 2;\][/math] Тогда его длина [math]\[\left|{\vec a}\right| = \sqrt{{{({a_x})}^2}+{{({a_y})}^2}}= \sqrt{{{(5)}^2}+{{( - 2)}^2}}= \sqrt{29}\][/math] Следовательно для направляющих косинусов вектора получим следующие значения: [math]\[\cos \alpha = \frac{{{a_x}}}{{\left|{\overrightarrow a}\right|}}= \frac{5}{{\sqrt{29}}};\cos \beta = \frac{{{a_y}}}{{\left|{\overrightarrow a}\right|}}= - \frac{2}{{\sqrt{29}}};\][/math] [math]\[\begin{array}{l}\frac{{dz}}{{dx}}= \frac{d}{{dx}}\left({\ln (5{x^2}+ 2{y^2}}\right) = \frac{{10x}}{{5{x^2}+ 2{y^2}}}\\ \frac{{dz}}{{dy}}= \frac{d}{{dy}}\left({\ln (5{x^2}+ 2{y^2}}\right) = \frac{{4y}}{{5{x^2}+ 2{y^2}}}\end{array}\][/math] Вычислим значения этих частных производных первого порядка в т.А(-2;5) [math]\[\begin{array}{l}{\left({\frac{{dz}}{{dx}}}\right)_A}= \frac{d}{{dx}}{\left({\frac{{10x}}{{5{x^2}+ 2{y^2}}}}\right)_A}= \frac{{10( - 2)}}{{20 + 50}}= - \frac{{20}}{{70}}= - \frac{2}{7}\\{\left({\frac{{dz}}{{dy}}}\right)_A}= \frac{d}{{dy}}{\left({\frac{{4y}}{{5{x^2}+ 2{y^2}}}}\right)_A}= \frac{{4 \cdot 5}}{{20 + 50}}= \frac{{20}}{{70}}= \frac{2}{7}\end{array}\][/math] В заключении подставим полученные значения для направляющих косинусов вектора [math]\[\vec a = 5 \cdot \vec i - 2 \cdot \vec j\][/math] и значения частных производных первого порядка от функции z в точке А(-2,5) в формулу для нахождения производной по направлению в заданной точке: [math]\[\begin{array}{l}{\left({\frac{{dz}}{{da}}}\right)_A}={\left({\frac{{dz}}{{dx}}}\right)_A}\cdot \cos \alpha +{\left({\frac{{dz}}{{dy}}}\right)_A}\cdot \cos \beta = - \frac{2}{7}\cdot \frac{5}{{\sqrt{29}}}+ \frac{2}{7}\cdot \frac{{- 2}}{{\sqrt{29}}}= \\ = - \frac{{10}}{{7 \cdot \sqrt{29}}}- \frac{4}{{7 \cdot \sqrt{29}}}= - \frac{{14}}{{7 \cdot \sqrt{29}}}= - \frac{2}{{7 \cdot \sqrt{29}}}\end{array}\][/math] Ответ: Производная от функции: [math]\[z = \ln \left({5{x^2}+ 2{y^2}}\right)\][/math] в точке А(-2;5) по направлению вектора [math]\[\vec a = 5 \cdot \vec i - 2 \cdot \vec j\][/math] равна [math]\[ - \frac{2}{{7 \cdot \sqrt{29}}}\][/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Yurik |
|
|
Алгоритм верный.
|
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 4 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 13 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |