Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти градиент и производную по направлению
СообщениеДобавлено: 07 фев 2014, 16:06 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
07 фев 2014, 15:37
Сообщений: 139
Cпасибо сказано: 34
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Для функции [math]z = \ln(5x^2 + 2y^2)[/math] в точке [math]A(- 2;5)[/math] найти градиент и производную по направлению вектора[math]\vec{a} = 5 \vec{i}- 2\vec{j}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти градиент и производную по направлению
СообщениеДобавлено: 07 фев 2014, 16:20 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
21 авг 2011, 15:49
Сообщений: 5279
Cпасибо сказано: 315
Спасибо получено:
2295 раз в 1964 сообщениях
Очков репутации: 520

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Производная по направлению. Градиент

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти градиент и производную по направлению
СообщениеДобавлено: 13 фев 2014, 11:40 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
07 фев 2014, 15:37
Сообщений: 139
Cпасибо сказано: 34
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Правильно ли я решил?
Для функции
[math]\[z = \ln \left({5{x^2}+ 2{y^2}}\right)\][/math]
в точке
[math]\[A\left({- 2;5}\right)\][/math]
найти градиент и производную по направлению
[math]\[\vec a = 5 \cdot \vec i - 2 \cdot \vec j\][/math]
Найдём градиент функции z
[math]\[\begin{array}{l}gradz = \frac{d}{{dx}}\ln \left({5{x^2}+ 2{y^2}}\right)\overrightarrow i + \frac{d}{{dy}}\ln \left({5{x^2}+ 2{y^2}}\right)\overrightarrow{j =}\\ = \frac{{\overrightarrow i}}{{\left({5{x^2}+ 2{y^2}}\right)}}\frac{d}{{dx}}\left({5{x^2}+ 2{y^2}}\right) + \frac{{\overrightarrow j}}{{\left({5{x^2}+ 2{y^2}}\right)}}\frac{d}{{dy}}\left({5{x^2}+ 2{y^2}}\right) = \\ = \frac{{10x\overrightarrow i}}{{5{x^2}+ 2{y^2}}}+ \frac{{4y\overrightarrow j}}{{5{x^2}+ 2{y^2}}}= \frac{{10x\overrightarrow i + 4y\overrightarrow j}}{{5{x^2}+ 2{y^2}}}; \end{array}\][/math]
Найдём градиент функции z в точке A
[math]\[gradz(A) = \frac{{10( - 2)\overrightarrow i + 4 \cdot 5\overrightarrow j}}{{5 \cdot{{( - 2)}^2}+ 2{5^2}}}= \frac{{- 20\overrightarrow i + 20\overrightarrow j}}{{20 + 50}}= - \frac{{20}}{{70}}\overrightarrow i + \frac{{20}}{{70}}\overrightarrow j = - \frac{2}{7}\overrightarrow i + \frac{2}{7}\overrightarrow j = \left({- \frac{2}{7};\frac{2}{7}}\right);\][/math]
Найдём орт вектора а
[math]\[{\vec a^\bigcirc}= \frac{{\vec a}}{{\left|{\vec a}\right|}}= \frac{{5\overrightarrow i - 2\overrightarrow j}}{{\sqrt{{5^2}-{2^2}}}}= \frac{{5\overrightarrow i - 2\overrightarrow j}}{{\sqrt{21}}}= \frac{5}{{\sqrt{21}}}\overrightarrow i - \frac{2}{{\sqrt{21}}}\overrightarrow j = \left({\frac{5}{{\sqrt{21}}}; - \frac{2}{{\sqrt{21}}}}\right)\][/math]
Вычислим производную функции z в точке по направлению вектора а
[math]\[\frac{{dz(A)}}{{d\overrightarrow a}}= \langle gradz(A),{\vec a^\bigcirc}\rangle = - \frac{2}{7}\cdot \frac{5}{{\sqrt{21}}}- \frac{2}{7}\cdot \frac{{- 2}}{{\sqrt{21}}}= - \frac{{10}}{{7\sqrt{21}}}- \frac{4}{{7\sqrt{21}}}= - \frac{{14}}{{7\sqrt{21}}}= - \frac{2}{{\sqrt{21}}};\][/math]
[math]\[\frac{{dz}}{{d\overrightarrow a}}={\left({\frac{{dz}}{{dx}}}\right)_A}\cdot \cos \alpha +{\left({\frac{{dz}}{{dy}}}\right)_A}\cdot \cos \beta \][/math]
где
cosα, cosβ – направленные косинусы вектора , которые вычисляются по формулам:
[math]\[\cos \alpha = \frac{{{a_x}}}{{\left|{\overrightarrow a}\right|}};\cos \beta = \frac{{{a_y}}}{{\left|{\overrightarrow a}\right|}};\][/math]
По условию задан вектор
[math]\[\vec a = 5 \cdot \vec i - 2 \cdot \vec j\][/math]
имеет координаты:
[math]\[{a_x}= 5;{a_y}= - 2;\][/math]
Тогда его длина
[math]\[\left|{\vec a}\right| = \sqrt{{{({a_x})}^2}+{{({a_y})}^2}}= \sqrt{{{(5)}^2}+{{( - 2)}^2}}= \sqrt{29}\][/math]
Следовательно для направляющих косинусов вектора получим следующие значения:
[math]\[\cos \alpha = \frac{{{a_x}}}{{\left|{\overrightarrow a}\right|}}= \frac{5}{{\sqrt{29}}};\cos \beta = \frac{{{a_y}}}{{\left|{\overrightarrow a}\right|}}= - \frac{2}{{\sqrt{29}}};\][/math]
[math]\[\begin{array}{l}\frac{{dz}}{{dx}}= \frac{d}{{dx}}\left({\ln (5{x^2}+ 2{y^2}}\right) = \frac{{10x}}{{5{x^2}+ 2{y^2}}}\\ \frac{{dz}}{{dy}}= \frac{d}{{dy}}\left({\ln (5{x^2}+ 2{y^2}}\right) = \frac{{4y}}{{5{x^2}+ 2{y^2}}}\end{array}\][/math]
Вычислим значения этих частных производных первого порядка в т.А(-2;5)
[math]\[\begin{array}{l}{\left({\frac{{dz}}{{dx}}}\right)_A}= \frac{d}{{dx}}{\left({\frac{{10x}}{{5{x^2}+ 2{y^2}}}}\right)_A}= \frac{{10( - 2)}}{{20 + 50}}= - \frac{{20}}{{70}}= - \frac{2}{7}\\{\left({\frac{{dz}}{{dy}}}\right)_A}= \frac{d}{{dy}}{\left({\frac{{4y}}{{5{x^2}+ 2{y^2}}}}\right)_A}= \frac{{4 \cdot 5}}{{20 + 50}}= \frac{{20}}{{70}}= \frac{2}{7}\end{array}\][/math]
В заключении подставим полученные значения для направляющих косинусов вектора
[math]\[\vec a = 5 \cdot \vec i - 2 \cdot \vec j\][/math]
и значения частных производных первого порядка от функции z в точке А(-2,5) в формулу для нахождения производной по направлению в заданной точке:
[math]\[\begin{array}{l}{\left({\frac{{dz}}{{da}}}\right)_A}={\left({\frac{{dz}}{{dx}}}\right)_A}\cdot \cos \alpha +{\left({\frac{{dz}}{{dy}}}\right)_A}\cdot \cos \beta = - \frac{2}{7}\cdot \frac{5}{{\sqrt{29}}}+ \frac{2}{7}\cdot \frac{{- 2}}{{\sqrt{29}}}= \\ = - \frac{{10}}{{7 \cdot \sqrt{29}}}- \frac{4}{{7 \cdot \sqrt{29}}}= - \frac{{14}}{{7 \cdot \sqrt{29}}}= - \frac{2}{{7 \cdot \sqrt{29}}}\end{array}\][/math]
Ответ: Производная от функции:
[math]\[z = \ln \left({5{x^2}+ 2{y^2}}\right)\][/math]
в точке А(-2;5) по направлению вектора
[math]\[\vec a = 5 \cdot \vec i - 2 \cdot \vec j\][/math]
равна
[math]\[ - \frac{2}{{7 \cdot \sqrt{29}}}\][/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти градиент и производную по направлению
СообщениеДобавлено: 13 фев 2014, 11:46 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
21 авг 2011, 15:49
Сообщений: 5279
Cпасибо сказано: 315
Спасибо получено:
2295 раз в 1964 сообщениях
Очков репутации: 520

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Алгоритм верный.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти градиент и производную функции по направлению вектора

в форуме Векторный анализ и Теория поля

farell

2

210

22 июн 2017, 19:00

Найти градиент и производную в точке по направлению вектора

в форуме Векторный анализ и Теория поля

SamJa

1

149

01 янв 2018, 14:42

Производная по направлению. Градиент итд

в форуме Векторный анализ и Теория поля

splinx

1

375

03 апр 2013, 21:41

Производная по направлению и градиент

в форуме Дифференциальное исчисление

Alexandr1337

0

135

23 дек 2015, 20:27

Производная по направлению и градиент функции

в форуме Дифференциальное исчисление

AbirkulovSherali

4

175

21 ноя 2016, 21:29

Найти производную по направлению

в форуме Дифференциальное исчисление

Maik

7

156

11 сен 2017, 19:14

Найти производную скалярного поля по направлению

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Indie_Cube

3

1167

25 июн 2014, 17:13

Найти производную в точке а по направлению вектора а

в форуме Векторный анализ и Теория поля

AnnP

0

335

09 ноя 2015, 22:43

Найти градиен и производную функции по направлению вектора

в форуме Векторный анализ и Теория поля

S1vka

1

790

29 ноя 2013, 00:26

Найти производную функции в точки по направлению градиента

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Marko

5

791

01 окт 2013, 22:40


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved