Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Является ли векторное поле соленоидальным и потенциальным
СообщениеДобавлено: 02 апр 2010, 12:33 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
25 фев 2010, 18:41
Сообщений: 46
Cпасибо сказано: 28
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я извиняюсь, но никак не полчается решить это задание:

Проверьте является ли векторное поле [math]\mathbf{a}=(2x+5yz)\boldsymbol{i}+(5xz-6y)\boldsymbol{j}+(5xy+4z)\boldsymbol{k}[/math] соленоидальным и потенциальным? Если поле потенциальное, то найдите его потенциал [math]u(x,y,z)[/math].


В задачнике препода примеров с решением таких заданий почти нет.


Заранее огромное спасибо за любую помощь!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Является ли векторное поле соленоидальным и потенциальным
СообщениеДобавлено: 03 апр 2010, 17:40 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
LaraSoft писал(а):
Я извиняюсь, но никак не полчается решить это задание:

Проверьте является ли векторное поле [math]\mathbf{a}=(2x+5yz)\boldsymbol{i}+(5xz-6y)\boldsymbol{j}+(5xy+4z)\boldsymbol{k}[/math] соленоидальным и потенциальным? Если поле потенциальное, то найдите его потенциал [math]u(x,y,z)[/math].


В задачнике препода примеров с решением таких заданий почти нет.


Заранее огромное спасибо за любую помощь!

По условию задачи, имеем:

[math]P=2x+5yz,~Q=5xz-6y,~R=5xy+4z~\Rightarrow[/math] [math]\operatorname{div}\mathbf{a}=P'_x+Q'_y+R'_z=2-6+4=0.[/math]

Следовательно, поле [math]\mathbf{a}[/math] соленоидально.

Далее найдём ротор (вихрь) поля [math]\mathbf{a}[/math]:

[math]\operatorname{rot}\mathbf{a}=\operatorname{rot}(\operatorname{grad}u)=\left|\begin{array}{*{20}{c}}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\{\dfrac{\partial}{\partial{x}}}&{\dfrac{\partial}{\partial{y}}}&{\dfrac{\partial}{\partial{z}}}\\{2x+5yz}&{5xz-6y}&{5xy+4z}\\\end{array}\right|=[/math]

[math]=\left(5\,\frac{\partial}{\partial{y}}xy+4\,\frac{\partial}{\partial{y}}z-5\,\frac{\partial}{\partial{z}}xz+6\,\frac{\partial}{\partial{z}}y\right)\!\boldsymbol{i}[/math] [math]+\left(2\,\frac{\partial}{\partial{z}}x-5\,\frac{\partial}{\partial{x}}xy+5\,\frac{\partial}{\partial{z}}yz-4\,\frac{\partial}{\partial{x}}z\right)\!\boldsymbol{j}+[/math]

[math]+\left(5\,\frac{\partial}{\partial{x}}xz-6\,\frac{\partial}{\partial{x}}y-5\,\frac{\partial}{\partial{y}}yz-2\frac{\partial}{\partial{y}}x\right)\!\boldsymbol{k}=[/math] [math](5x-5x)\boldsymbol{i}+(5y-5y)\boldsymbol{j}+(5z-5z)\boldsymbol{k}=0.[/math]

Следовательно, поле [math]\mathbf{a}[/math] также и потенциально. Найдём потенциал [math]u(x,y,z)[/math] поля [math]\mathbf{a}[/math] по формуле

[math]{\color{red}\boxed{\color{black}u(x,y,z)=\int\limits_{x_0}^x{P(x,y_0,z_0)\,dx}+\int\limits_{y_0}^y{Q(x,y,{z_0})\,dy}+\int\limits_{z_0}^z{R(x,y,z)\,dz}+C}}}[/math]

Поскольку функции [math]P[/math], [math]Q[/math] и [math]R[/math] непрерывны во всех точках пространства, то, выбрав в качестве начальной точки пути интегрирования точку [math]M_0=(0,0,0)[/math] имеем:

[math]u(x,y,z)=2\int\limits_0^x{t\,dt}-6\int\limits_0^y{t\,dt}+\int\limits_0^z[/math][math]{(5xy+4t)\,dt}+C=x^2-3y^2+5xyz+2z^2+C.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
LaraSoft
 Заголовок сообщения: Re: Является ли векторное поле соленоидальным и потенциальным
СообщениеДобавлено: 04 апр 2010, 18:15 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
25 фев 2010, 18:41
Сообщений: 46
Cпасибо сказано: 28
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexdemath, огромнейшее спасибо!
У Вас просто чудесный форум!
Я постраюсь больше не наглеть :thanks:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Является ли векторное поле соленоидальным и потенциальным
СообщениеДобавлено: 16 июн 2010, 17:53 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
16 июн 2010, 17:42
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение

является ли поле соленоидальным

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Является ли векторное поле соленоидальным и потенциальным
СообщениеДобавлено: 17 июн 2010, 19:30 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Поле соленоидальным не является, т.к. дивергенция этого поля не равна нулю. Потенциальным оно тоже не является, т.к. ротор этого поля не равен нулю.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Является ли векторное поле соленоидальным и потенциальным
СообщениеДобавлено: 18 июн 2010, 11:08 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
16 июн 2010, 17:42
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение

Если можно распешите пожалуйста решение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать, что векторное поле является соленоидальным

в форуме Векторный анализ и Теория поля

kvk42

2

739

10 июн 2020, 17:13

Доказать, что векторное поле является соленоидальным

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Kaori

2

388

04 май 2020, 21:01

Векторное поле

в форуме Векторный анализ и Теория поля

photographer

1

543

30 мар 2015, 00:11

Векторное поле

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Fershtein_69

2

144

05 май 2023, 14:10

Потенциальное векторное поле

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Max_help_me

2

639

25 окт 2018, 19:20

Даны векторное поле F=Xi+Yj+Zk и плоскость

в форуме Интегральное исчисление

vladislavic94

1

267

27 май 2020, 19:04

Теория поля. Векторное поле

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Leniza

32

1722

12 май 2017, 21:22

Векторное поле. Поверхности 2 порядка

в форуме Интегральное исчисление

paul_woker

0

290

02 май 2020, 10:59

Векторное поле на соленоидальность, потенциальцость, гармон

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Clark01

2

311

02 ноя 2022, 18:06

Записать векторное поле в полярной системе координат

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Mezitor

7

1574

01 июл 2018, 13:04


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved