Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 6 ] |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
LaraSoft |
|
||
Проверьте является ли векторное поле [math]\mathbf{a}=(2x+5yz)\boldsymbol{i}+(5xz-6y)\boldsymbol{j}+(5xy+4z)\boldsymbol{k}[/math] соленоидальным и потенциальным? Если поле потенциальное, то найдите его потенциал [math]u(x,y,z)[/math]. В задачнике препода примеров с решением таких заданий почти нет. Заранее огромное спасибо за любую помощь! |
|||
Вернуться к началу | |||
Alexdemath |
|
|
LaraSoft писал(а): Я извиняюсь, но никак не полчается решить это задание: Проверьте является ли векторное поле [math]\mathbf{a}=(2x+5yz)\boldsymbol{i}+(5xz-6y)\boldsymbol{j}+(5xy+4z)\boldsymbol{k}[/math] соленоидальным и потенциальным? Если поле потенциальное, то найдите его потенциал [math]u(x,y,z)[/math]. В задачнике препода примеров с решением таких заданий почти нет. Заранее огромное спасибо за любую помощь! По условию задачи, имеем: [math]P=2x+5yz,~Q=5xz-6y,~R=5xy+4z~\Rightarrow[/math] [math]\operatorname{div}\mathbf{a}=P'_x+Q'_y+R'_z=2-6+4=0.[/math] Следовательно, поле [math]\mathbf{a}[/math] соленоидально. Далее найдём ротор (вихрь) поля [math]\mathbf{a}[/math]: [math]\operatorname{rot}\mathbf{a}=\operatorname{rot}(\operatorname{grad}u)=\left|\begin{array}{*{20}{c}}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\{\dfrac{\partial}{\partial{x}}}&{\dfrac{\partial}{\partial{y}}}&{\dfrac{\partial}{\partial{z}}}\\{2x+5yz}&{5xz-6y}&{5xy+4z}\\\end{array}\right|=[/math] [math]=\left(5\,\frac{\partial}{\partial{y}}xy+4\,\frac{\partial}{\partial{y}}z-5\,\frac{\partial}{\partial{z}}xz+6\,\frac{\partial}{\partial{z}}y\right)\!\boldsymbol{i}[/math] [math]+\left(2\,\frac{\partial}{\partial{z}}x-5\,\frac{\partial}{\partial{x}}xy+5\,\frac{\partial}{\partial{z}}yz-4\,\frac{\partial}{\partial{x}}z\right)\!\boldsymbol{j}+[/math] [math]+\left(5\,\frac{\partial}{\partial{x}}xz-6\,\frac{\partial}{\partial{x}}y-5\,\frac{\partial}{\partial{y}}yz-2\frac{\partial}{\partial{y}}x\right)\!\boldsymbol{k}=[/math] [math](5x-5x)\boldsymbol{i}+(5y-5y)\boldsymbol{j}+(5z-5z)\boldsymbol{k}=0.[/math] Следовательно, поле [math]\mathbf{a}[/math] также и потенциально. Найдём потенциал [math]u(x,y,z)[/math] поля [math]\mathbf{a}[/math] по формуле [math]{\color{red}\boxed{\color{black}u(x,y,z)=\int\limits_{x_0}^x{P(x,y_0,z_0)\,dx}+\int\limits_{y_0}^y{Q(x,y,{z_0})\,dy}+\int\limits_{z_0}^z{R(x,y,z)\,dz}+C}}}[/math] Поскольку функции [math]P[/math], [math]Q[/math] и [math]R[/math] непрерывны во всех точках пространства, то, выбрав в качестве начальной точки пути интегрирования точку [math]M_0=(0,0,0)[/math] имеем: [math]u(x,y,z)=2\int\limits_0^x{t\,dt}-6\int\limits_0^y{t\,dt}+\int\limits_0^z[/math][math]{(5xy+4t)\,dt}+C=x^2-3y^2+5xyz+2z^2+C.[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали: LaraSoft |
||
LaraSoft |
|
||
Alexdemath, огромнейшее спасибо!
У Вас просто чудесный форум! Я постраюсь больше не наглеть |
|||
Вернуться к началу | |||
hata77 |
|
||
Вернуться к началу | |||
Prokop |
|
||
Поле соленоидальным не является, т.к. дивергенция этого поля не равна нулю. Потенциальным оно тоже не является, т.к. ротор этого поля не равен нулю.
|
|||
Вернуться к началу | |||
hata77 |
|
||
Вернуться к началу | |||
[ Сообщений: 6 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |