Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Поток векторного поля
СообщениеДобавлено: 09 май 2013, 00:42 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 17:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Найти поток векторного поля [math]a=xy\textbf{i}+xy\textbf{j}-zx\textbf{k}[/math] через замкнутую поверхность [math]\sigma[/math]: [math]3z=9-x^2-y^2,z=0[/math] двумя способами:
1) непосредственно, вычисляя потоки через все гладкие куски поверхности [math]\sigma[/math]
2) по теореме Остроградского-Гаусса.

Господа, если у кого-нибудь найдется время проглядеть мое решение - буду премного благодарен!

Мои мысли:
Поверхность - ограничена параболоидом и плоскостью [math]z=0[/math].

По формуле Остроградского-Гаусса получаю:

[math]\text{G} = \iiint\limits_{T} (y+x-x) dxdydz = \iiint\limits_{T} (y) dxdydz = \int\limits_{0}^{2\pi} d \varphi \int\limits_{0}^{3} dr \int\limits_{0}^{3 - \frac{r^2}{3}} r^2 \cdot \sin(\varphi) dz = 0[/math]

Далее пробую непосредственно:

Представим искомый поток как сумму потоков [math]\text{G}_{1}[/math] и [math]\text{G}_{2}[/math] через гладкие куски, соответственно [math]S_{1}[/math] (круг [math]x^2+y^2 \leqslant 3^2[/math]) и [math]S_{2}[/math] (часть параболоида [math]z=3 - \frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{3}[/math]). Так как [math]S[/math] замкнута, то берем внешнюю нормаль к ней.

1) На [math]S_{1}[/math], где [math]z=0[/math], имеем [math]n^{0} = -k[/math], поэтому [math](a,n^{0}) = zx[/math]

[math]dS = \frac{dxdy}{|\cos(\gamma)|}[/math], где [math]\gamma[/math] - насколько я понимаю, угол между осью [math]Oz[/math] и вектором нормали [math]n^0[/math], в нашем случае угол между вектором нормали и осью [math]Oz[/math] равен [math]0[/math], то есть [math]\cos(0) = 1[/math] и [math]dS = dxdy[/math]

Значит, поток [math]\text{G}_1[/math] будет равен:

[math]\text{G}_1 = \iint\limits_{S_{1}} zx dS = \iint\limits_{S_{1}} zx dxdy[/math]

У [math]S_{1}[/math]: [math]z=0[/math], тогда:

[math]\text{G}_1 = \iint\limits_{S_{1}} zx dxdy = \iint\limits_{S_{1}} 0 \cdot x dxdy = 0[/math]

2) Находим орт нормали к [math]S_{2}[/math]:

[math]n^{0}= \pm \frac{grad(z-3+\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{3})}{|grad(z-3+\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{3})|} = \pm \frac{\frac{2x}{3} \cdot \textbf{i}+\frac{2y}{3} \cdot \textbf{j}+1 \cdot \textbf{k}}{\sqrt{ \left ( \frac{2x}{3} \right )^2 + \left ( \frac{2y}{3} \right )^2 + 1^2}} = \pm \frac{\frac{2x}{3} \cdot \textbf{i}+\frac{2y}{3} \cdot \textbf{j}+1 \cdot \textbf{k}}{\sqrt{ \frac{4x^2}{9} +\frac{4y^2}{9}+1}}[/math]

По условию задачи, вектор нормали [math]n^0[/math] образует острый угол с осью [math]Oz[/math] (а так ли это?), поэтому следует взять знак плюс, то есть:

[math]n^{0}= \frac{\frac{2x}{3} \cdot \textbf{i}+\frac{2y}{3} \cdot \textbf{j}+1 \cdot \textbf{k}}{\sqrt{ \frac{4x^2}{9} +\frac{4y^2}{9}+1}}[/math]

[math]\cos(\gamma) = \frac{1}{\sqrt{ \frac{4x^2}{9} +\frac{4y^2}{9}+1}}[/math]

Тогда [math]dS = \frac{dxdy}{|\cos(\gamma)|} = \left (\sqrt{ \frac{4x^2}{9} +\frac{4y^2}{9}+1} \right ) }dxdy[/math]

Находим скалярное произведение [math](a, n^0)[/math]:

[math](a, n^0) = \frac{\frac{2x^2y}{3} +\frac{2y^2x}{3} - zx}{\sqrt{ \frac{4x^2}{9} +\frac{4y^2}{9}+1}}[/math]

Тогда:

[math]\text{G}_{2} = \iint\limits_{S_{2}} (a,n^0) dS =\iint\limits_{S_{2}} \left ( \frac{2x^2y}{3} +\frac{2y^2x}{3} - (3 - \frac{x^2}{3}- \frac{y^2}{3}) \cdot x \right ) dxdy[/math] (здесь вместо [math]z[/math] подставили уравнение параболоида, решенное относительно [math]z[/math])

Проекция параболоида на плоскость [math]xOy[/math] - круг [math]x^2+y^2 \leqslant 3^2[/math]

А далее переходим в полярную систему координат: [math]x=r \cdot \cos(\varphi), y =r \cdot \sin(\varphi)[/math]

Область будет [math]0 \leqslant \varphi \leqslant 2 \pi, 0 \leqslant r \leqslant 3[/math]

Вышеприведенный интеграл будет равен [math]0[/math], то есть [math]\text{G}_{2} = 0[/math]

И окончательно имеем: [math]\text{G} = \text{G}_{1} + \text{G}_{2} =0+0=0[/math]

Ответ совпал с ответом по методу Остроградского-Гаусса.

Вот вроде как-то так :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ 1 сообщение ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вычислить поток векторного поля (Теория поля)

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Artyr95

1

1617

27 май 2014, 07:24

Вычислить поток векторного поля (Теория поля)

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Marina11111

1

784

01 фев 2020, 14:34

Поток векторного поля

в форуме Векторный анализ и Теория поля

matanbol

0

393

15 май 2017, 14:14

Поток векторного поля

в форуме Интегральное исчисление

RikkiTan1

0

544

06 май 2015, 18:33

Поток векторного поля

в форуме Векторный анализ и Теория поля

meow22

2

462

21 май 2017, 21:28

Поток векторного поля

в форуме Векторный анализ и Теория поля

magical3000

0

410

15 июн 2015, 03:53

Поток векторного поля

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Frit

7

442

21 май 2019, 20:21

Поток векторного поля

в форуме Векторный анализ и Теория поля

darkyn

3

724

02 янв 2019, 16:02

Поток векторного поля

в форуме Интегральное исчисление

MAKSUS_87

0

420

20 май 2014, 20:45

Поток векторного поля

в форуме Векторный анализ и Теория поля

AzerotKKL

15

841

18 мар 2020, 00:51


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 14


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved