Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ 1 сообщение ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Wersel |
|
|
1) непосредственно, вычисляя потоки через все гладкие куски поверхности [math]\sigma[/math] 2) по теореме Остроградского-Гаусса. Господа, если у кого-нибудь найдется время проглядеть мое решение - буду премного благодарен! Мои мысли: Поверхность - ограничена параболоидом и плоскостью [math]z=0[/math]. По формуле Остроградского-Гаусса получаю: [math]\text{G} = \iiint\limits_{T} (y+x-x) dxdydz = \iiint\limits_{T} (y) dxdydz = \int\limits_{0}^{2\pi} d \varphi \int\limits_{0}^{3} dr \int\limits_{0}^{3 - \frac{r^2}{3}} r^2 \cdot \sin(\varphi) dz = 0[/math] Далее пробую непосредственно: Представим искомый поток как сумму потоков [math]\text{G}_{1}[/math] и [math]\text{G}_{2}[/math] через гладкие куски, соответственно [math]S_{1}[/math] (круг [math]x^2+y^2 \leqslant 3^2[/math]) и [math]S_{2}[/math] (часть параболоида [math]z=3 - \frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{3}[/math]). Так как [math]S[/math] замкнута, то берем внешнюю нормаль к ней. 1) На [math]S_{1}[/math], где [math]z=0[/math], имеем [math]n^{0} = -k[/math], поэтому [math](a,n^{0}) = zx[/math] [math]dS = \frac{dxdy}{|\cos(\gamma)|}[/math], где [math]\gamma[/math] - насколько я понимаю, угол между осью [math]Oz[/math] и вектором нормали [math]n^0[/math], в нашем случае угол между вектором нормали и осью [math]Oz[/math] равен [math]0[/math], то есть [math]\cos(0) = 1[/math] и [math]dS = dxdy[/math] Значит, поток [math]\text{G}_1[/math] будет равен: [math]\text{G}_1 = \iint\limits_{S_{1}} zx dS = \iint\limits_{S_{1}} zx dxdy[/math] У [math]S_{1}[/math]: [math]z=0[/math], тогда: [math]\text{G}_1 = \iint\limits_{S_{1}} zx dxdy = \iint\limits_{S_{1}} 0 \cdot x dxdy = 0[/math] 2) Находим орт нормали к [math]S_{2}[/math]: [math]n^{0}= \pm \frac{grad(z-3+\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{3})}{|grad(z-3+\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{3})|} = \pm \frac{\frac{2x}{3} \cdot \textbf{i}+\frac{2y}{3} \cdot \textbf{j}+1 \cdot \textbf{k}}{\sqrt{ \left ( \frac{2x}{3} \right )^2 + \left ( \frac{2y}{3} \right )^2 + 1^2}} = \pm \frac{\frac{2x}{3} \cdot \textbf{i}+\frac{2y}{3} \cdot \textbf{j}+1 \cdot \textbf{k}}{\sqrt{ \frac{4x^2}{9} +\frac{4y^2}{9}+1}}[/math] По условию задачи, вектор нормали [math]n^0[/math] образует острый угол с осью [math]Oz[/math] (а так ли это?), поэтому следует взять знак плюс, то есть: [math]n^{0}= \frac{\frac{2x}{3} \cdot \textbf{i}+\frac{2y}{3} \cdot \textbf{j}+1 \cdot \textbf{k}}{\sqrt{ \frac{4x^2}{9} +\frac{4y^2}{9}+1}}[/math] [math]\cos(\gamma) = \frac{1}{\sqrt{ \frac{4x^2}{9} +\frac{4y^2}{9}+1}}[/math] Тогда [math]dS = \frac{dxdy}{|\cos(\gamma)|} = \left (\sqrt{ \frac{4x^2}{9} +\frac{4y^2}{9}+1} \right ) }dxdy[/math] Находим скалярное произведение [math](a, n^0)[/math]: [math](a, n^0) = \frac{\frac{2x^2y}{3} +\frac{2y^2x}{3} - zx}{\sqrt{ \frac{4x^2}{9} +\frac{4y^2}{9}+1}}[/math] Тогда: [math]\text{G}_{2} = \iint\limits_{S_{2}} (a,n^0) dS =\iint\limits_{S_{2}} \left ( \frac{2x^2y}{3} +\frac{2y^2x}{3} - (3 - \frac{x^2}{3}- \frac{y^2}{3}) \cdot x \right ) dxdy[/math] (здесь вместо [math]z[/math] подставили уравнение параболоида, решенное относительно [math]z[/math]) Проекция параболоида на плоскость [math]xOy[/math] - круг [math]x^2+y^2 \leqslant 3^2[/math] А далее переходим в полярную систему координат: [math]x=r \cdot \cos(\varphi), y =r \cdot \sin(\varphi)[/math] Область будет [math]0 \leqslant \varphi \leqslant 2 \pi, 0 \leqslant r \leqslant 3[/math] Вышеприведенный интеграл будет равен [math]0[/math], то есть [math]\text{G}_{2} = 0[/math] И окончательно имеем: [math]\text{G} = \text{G}_{1} + \text{G}_{2} =0+0=0[/math] Ответ совпал с ответом по методу Остроградского-Гаусса. Вот вроде как-то так |
||
Вернуться к началу | ||
[ 1 сообщение ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Вычислить поток векторного поля (Теория поля)
в форуме Векторный анализ и Теория поля |
1 |
1617 |
27 май 2014, 07:24 |
|
Вычислить поток векторного поля (Теория поля)
в форуме Векторный анализ и Теория поля |
1 |
784 |
01 фев 2020, 14:34 |
|
Поток векторного поля
в форуме Векторный анализ и Теория поля |
0 |
393 |
15 май 2017, 14:14 |
|
Поток векторного поля
в форуме Интегральное исчисление |
0 |
544 |
06 май 2015, 18:33 |
|
Поток векторного поля
в форуме Векторный анализ и Теория поля |
2 |
462 |
21 май 2017, 21:28 |
|
Поток векторного поля
в форуме Векторный анализ и Теория поля |
0 |
410 |
15 июн 2015, 03:53 |
|
Поток векторного поля
в форуме Векторный анализ и Теория поля |
7 |
442 |
21 май 2019, 20:21 |
|
Поток векторного поля
в форуме Векторный анализ и Теория поля |
3 |
724 |
02 янв 2019, 16:02 |
|
Поток векторного поля
в форуме Интегральное исчисление |
0 |
420 |
20 май 2014, 20:45 |
|
Поток векторного поля
в форуме Векторный анализ и Теория поля |
15 |
841 |
18 мар 2020, 00:51 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 14 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |