Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Поток векторного поля и циркуляция
СообщениеДобавлено: 26 мар 2013, 12:28 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
24 фев 2013, 11:58
Сообщений: 106
Cпасибо сказано: 47
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте!
Вот не могу найти поток векторного поля через замкнутую поверхность S=S1+S2 по внешней нормали. И вычислить векторного поля по контуру Г образованного пересечением поверхностей S1 S2... (направление обхода такое, чтобы область ограниченная контуром Г была слева)....
Следующие 3 пункта я сделал)))) по образцу))) сделал вычисления- проверку по формулам Остроградского и Стокса, и сделал схематический чертёж...Там легче как-то . А первые 2 пункта не могу понять...

[math]\vec{a} =(3y-5x)\vec{i} +(6x+5y)\vec{j} +(4z-xy+4)\vec{k} ,~~ S_1\colon x^2+y^2=z+1,~S_2\colon z=1[/math]

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поток векторного поля и циркуляция
СообщениеДобавлено: 26 мар 2013, 19:16 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
wiktormad писал(а):
Следующие 3 пункта я сделал)))) по образцу))) сделал вычисления- проверку по формулам Остроградского и Стокса, и сделал схематический чертёж...Там легче как-то . А первые 2 пункта не могу понять...

И где эти пункты??

Напишите внятно и членораздельно и не забудьте пронумеровать пункты, тогда возможно будет оказать Вам помощь.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
wiktormad
 Заголовок сообщения: Re: Поток векторного поля и циркуляция
СообщениеДобавлено: 27 мар 2013, 07:05 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
24 фев 2013, 11:58
Сообщений: 106
Cпасибо сказано: 47
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1. найти поток векторного поля а через замкнутую поверхность S=S1+S2 по внешней нормали к S.
2. вычислить циркуляцию векторного поля а по контуру Г образованного пересечением поверхностей S1 S2... (направление обхода такое, чтобы область ограниченная контуром Г была слева)....

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поток векторного поля и циркуляция
СообщениеДобавлено: 27 мар 2013, 12:47 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
wiktormad писал(а):
1. найти поток векторного поля а через замкнутую поверхность S=S1+S2 по внешней нормали к S.

Воспользуемся формулой Гаусса-Остроградского.

Дивергенция поля [math]\operatorname{div}\vec a = \frac{\partial}{{\partial x}}(3y - 5x) + \frac{\partial}{{\partial y}}(6x + 5y) + \frac{\partial}{{\partial x}}(4z - xy + 4) = - 5 + 5 + 4 = 4[/math]

Найдём проекция поверхности на плоскость [math]Oxy\colon\, \left\{\!\begin{gathered} x^2+y^2= z + 1, \hfill \\z = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. ~\Rightarrow~x^2+y^2=2[/math]

Запишем область, которую образует пересечение поверхностей [math]S_1[/math] и [math]S_2[/math]

[math]V = \left\{x^2+y^2 \leqslant 2,~x^2 + y^2 - 1 \leqslant z \leqslant 1\right\}[/math]
Перепишем эту область в цилиндрических координатах[math]\left\{\begin{gathered}x = r\cos \varphi , \hfill \\ y = r\sin \varphi , \hfill \\ z = z \hfill \\ \end{gathered}\right.[/math]
[math]V^{\ast} = \left\{0 \leqslant \varphi \leqslant 2\pi ,~0 \leqslant r \leqslant \sqrt 2 ,~r^2- 1 \leqslant z \leqslant 1\right\}[/math]

Вычислим искомый поток с помощью формулы Гаусса-Остроградского

[math]\begin{aligned}\Pi &= \iiint\limits_V \operatorname{div}\vec a\,dV= 4\iiint\limits_V dxdydz= 4\iiint\limits_{V^{\ast}}r\,drd\varphi dz= \\ &= 4\int\limits_0^{2\pi} d\varphi \int\limits_0^{\sqrt 2}r\, dr\int\limits_{r^2-1}^1 dz= 4 \cdot 2\pi \int\limits_0^{\sqrt 2}{r[1 - (r^2- 1)]dr= \ldots = 8\pi \end{aligned}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
mad_math, wiktormad
 Заголовок сообщения: Re: Поток векторного поля и циркуляция
СообщениеДобавлено: 27 мар 2013, 12:55 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
wiktormad писал(а):
2. вычислить циркуляцию векторного поля а по контуру Г образованного пересечением поверхностей S1 S2... (направление обхода такое, чтобы область ограниченная контуром Г была слева)....

Так как этот контур замкнутый и [math]z=1,~dz=0[/math], то можно воспользоваться формулой Грина

[math]\begin{aligned}C &= \oint\limits_\Gamma (3y - 5x)dx + (6x + 5y)dy + (4z - xy + 4)dz= \\ &= \oint\limits_{\Gamma} (3y - 5x)dx + (6x + 5y)dy= \iint\limits_{x^2+ y^2 \leqslant 2}\!\left(\frac{\partial}{\partial x}(6x + 5y) + \frac{\partial}{\partial y}(3y - 5x)\right)\!dxdy= \\ &= 9\iint\limits_{x^2+ y^2 \leqslant 2}dxdy = \left\{\begin{gathered}x = r\cos \varphi , \hfill \\ y = r\sin \varphi \hfill \\ \end{gathered}\right\}= 9\int\limits_0^{2\pi}d\varphi \int\limits_0^{\sqrt 2}r\,dr= \left.{9 \cdot 2\pi \cdot \frac{1}{2}\,r^2}\right|_0^{\sqrt 2}= 18\pi \end{aligned}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
mad_math, wiktormad
 Заголовок сообщения: Re: Поток векторного поля и циркуляция
СообщениеДобавлено: 27 мар 2013, 16:55 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
24 фев 2013, 11:58
Сообщений: 106
Cпасибо сказано: 47
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
СПАСИБО, админ!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поток векторного поля и циркуляция
СообщениеДобавлено: 22 апр 2013, 16:49 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
24 фев 2013, 11:58
Сообщений: 106
Cпасибо сказано: 47
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Скажите пожалуйста, а вектор внешней нормали к поверхности S1 положительный будет или отрицательный?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поток векторного поля и циркуляция
СообщениеДобавлено: 04 май 2013, 09:29 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
24 фев 2013, 11:58
Сообщений: 106
Cпасибо сказано: 47
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Подскажите, я правильно начал проверку циркуляции векторного поля по формуле Стокса делать? Я вроде скалярное произведение получаю, а выходит интеграл из 3 и в результате- 6 пи... а надо 18 пи...

Вложения:
010513-1942.jpg
010513-1942.jpg [ 25.53 Кб | Просмотров: 86 ]
010513-1941.jpg
010513-1941.jpg [ 29.72 Кб | Просмотров: 71 ]
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Циркуляция векторного поля

в форуме Векторный анализ и Теория поля

sdsdf

1

783

29 окт 2015, 17:46

Циркуляция векторного поля

в форуме Векторный анализ и Теория поля

GrimJoy

6

1121

22 май 2016, 14:04

Циркуляция векторного поля

в форуме Векторный анализ и Теория поля

limao

0

442

29 май 2021, 10:24

Циркуляция векторного поля

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Lyuda

1

442

26 окт 2017, 17:13

Циркуляция векторного поля

в форуме Векторный анализ и Теория поля

uncleS4m

3

584

10 ноя 2017, 11:50

Циркуляция плоского векторного поля

в форуме Векторный анализ и Теория поля

999ART

1

448

18 дек 2016, 19:51

Циркуляция векторного поля по контуру

в форуме Векторный анализ и Теория поля

d3fault

5

871

01 июн 2017, 22:11

Циркуляция векторного поля по теореме Стокса

в форуме Векторный анализ и Теория поля

identam

2

352

29 апр 2020, 17:39

Вычислить поток векторного поля (Теория поля)

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Artyr95

1

1617

27 май 2014, 07:24

Вычислить поток векторного поля (Теория поля)

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Marina11111

1

784

01 фев 2020, 14:34


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 15


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved