Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 8 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
wiktormad |
|
|
Вот не могу найти поток векторного поля через замкнутую поверхность S=S1+S2 по внешней нормали. И вычислить векторного поля по контуру Г образованного пересечением поверхностей S1 S2... (направление обхода такое, чтобы область ограниченная контуром Г была слева).... Следующие 3 пункта я сделал)))) по образцу))) сделал вычисления- проверку по формулам Остроградского и Стокса, и сделал схематический чертёж...Там легче как-то . А первые 2 пункта не могу понять... [math]\vec{a} =(3y-5x)\vec{i} +(6x+5y)\vec{j} +(4z-xy+4)\vec{k} ,~~ S_1\colon x^2+y^2=z+1,~S_2\colon z=1[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Alexdemath |
|
|
wiktormad писал(а): Следующие 3 пункта я сделал)))) по образцу))) сделал вычисления- проверку по формулам Остроградского и Стокса, и сделал схематический чертёж...Там легче как-то . А первые 2 пункта не могу понять... И где эти пункты?? Напишите внятно и членораздельно и не забудьте пронумеровать пункты, тогда возможно будет оказать Вам помощь. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали: wiktormad |
||
wiktormad |
|
|
1. найти поток векторного поля а через замкнутую поверхность S=S1+S2 по внешней нормали к S.
2. вычислить циркуляцию векторного поля а по контуру Г образованного пересечением поверхностей S1 S2... (направление обхода такое, чтобы область ограниченная контуром Г была слева).... |
||
Вернуться к началу | ||
Alexdemath |
|
|
wiktormad писал(а): 1. найти поток векторного поля а через замкнутую поверхность S=S1+S2 по внешней нормали к S. Воспользуемся формулой Гаусса-Остроградского. Дивергенция поля [math]\operatorname{div}\vec a = \frac{\partial}{{\partial x}}(3y - 5x) + \frac{\partial}{{\partial y}}(6x + 5y) + \frac{\partial}{{\partial x}}(4z - xy + 4) = - 5 + 5 + 4 = 4[/math] Найдём проекция поверхности на плоскость [math]Oxy\colon\, \left\{\!\begin{gathered} x^2+y^2= z + 1, \hfill \\z = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. ~\Rightarrow~x^2+y^2=2[/math] Запишем область, которую образует пересечение поверхностей [math]S_1[/math] и [math]S_2[/math] [math]V = \left\{x^2+y^2 \leqslant 2,~x^2 + y^2 - 1 \leqslant z \leqslant 1\right\}[/math] Перепишем эту область в цилиндрических координатах[math]\left\{\begin{gathered}x = r\cos \varphi , \hfill \\ y = r\sin \varphi , \hfill \\ z = z \hfill \\ \end{gathered}\right.[/math] [math]V^{\ast} = \left\{0 \leqslant \varphi \leqslant 2\pi ,~0 \leqslant r \leqslant \sqrt 2 ,~r^2- 1 \leqslant z \leqslant 1\right\}[/math] Вычислим искомый поток с помощью формулы Гаусса-Остроградского [math]\begin{aligned}\Pi &= \iiint\limits_V \operatorname{div}\vec a\,dV= 4\iiint\limits_V dxdydz= 4\iiint\limits_{V^{\ast}}r\,drd\varphi dz= \\ &= 4\int\limits_0^{2\pi} d\varphi \int\limits_0^{\sqrt 2}r\, dr\int\limits_{r^2-1}^1 dz= 4 \cdot 2\pi \int\limits_0^{\sqrt 2}{r[1 - (r^2- 1)]dr= \ldots = 8\pi \end{aligned}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали: mad_math, wiktormad |
||
Alexdemath |
|
|
wiktormad писал(а): 2. вычислить циркуляцию векторного поля а по контуру Г образованного пересечением поверхностей S1 S2... (направление обхода такое, чтобы область ограниченная контуром Г была слева).... Так как этот контур замкнутый и [math]z=1,~dz=0[/math], то можно воспользоваться формулой Грина [math]\begin{aligned}C &= \oint\limits_\Gamma (3y - 5x)dx + (6x + 5y)dy + (4z - xy + 4)dz= \\ &= \oint\limits_{\Gamma} (3y - 5x)dx + (6x + 5y)dy= \iint\limits_{x^2+ y^2 \leqslant 2}\!\left(\frac{\partial}{\partial x}(6x + 5y) + \frac{\partial}{\partial y}(3y - 5x)\right)\!dxdy= \\ &= 9\iint\limits_{x^2+ y^2 \leqslant 2}dxdy = \left\{\begin{gathered}x = r\cos \varphi , \hfill \\ y = r\sin \varphi \hfill \\ \end{gathered}\right\}= 9\int\limits_0^{2\pi}d\varphi \int\limits_0^{\sqrt 2}r\,dr= \left.{9 \cdot 2\pi \cdot \frac{1}{2}\,r^2}\right|_0^{\sqrt 2}= 18\pi \end{aligned}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали: mad_math, wiktormad |
||
wiktormad |
|
|
СПАСИБО, админ!
|
||
Вернуться к началу | ||
wiktormad |
|
|
Скажите пожалуйста, а вектор внешней нормали к поверхности S1 положительный будет или отрицательный?
|
||
Вернуться к началу | ||
wiktormad |
|
|
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 8 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 15 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |