Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 10 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
ful317 |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
VKarpov |
|
|
Ау! Актуальна ли Вам еше задача?
|
||
Вернуться к началу | ||
mad_math |
|
|
Задание можно было и с помощью редактора формул записать:
Вычислить поверхностный интеграл второго рода [math]\iint\limits_{S}x^2dydz+zdxdy[/math], где [math]S[/math] - часть поверхности параболоида [math]z=x^2+y^2[/math] (нормальный вектор n которой образует тупой угол с ортом k), отсекаемая плоскостью [math]z=4[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
ful317 |
|
|
VKarpov писал(а): Ау! Актуальна ли Вам еше задача? Актуальна |
||
Вернуться к началу | ||
VKarpov |
|
|
Интеграл можно было бы вычслять и "в лоб", но я подозреваю, что у вас это задача на теорему
Гаусса - Остроградского. Общее выражение для потока векторного поля [math]\mathbf{a}[/math] через поверхность [math]S[/math] [math]\int_S(\mathbf{a},\mathbf{n})dS=\int_S (a_xdydz+a_ydxdz+a_zdxdy)[/math] так что в вашем случае поле имеет компоненты [math]a_x=x^2[/math], [math]a_y=0[/math], [math]a_z=z[/math]. Дивергенция этого поля равна [math]\mathbf{div}\,\mathbf{a}=2x+1[/math] Теорема Гаусса Отроградского утверждает, что поток векторного поля [math]\mathbf{a}[/math] через замкнутую поверхность [math]S[/math] равен объемному интегралу от дивергенции этого поля [math]\int_V \mathbf{div}\,\mathbf{a} \,dV= \int_S(\mathbf{a},\mathbf{n})dS[/math] В данном случае интеграл по объему вычисляется легко, а, чтобы сделать поверхность замкнутой, нужно добавить "крышечку" [math]z=4[/math], и по ней тоже интерграл вычисляется легко. Продолжить, или доделаете сами? |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю VKarpov "Спасибо" сказали: Alexdemath |
||
ful317 |
|
|
VKarpov писал(а): Интеграл можно было бы вычслять и "в лоб", но я подозреваю, что у вас это задача на теорему Гаусса - Остроградского. Общее выражение для потока векторного поля [math]\mathbf{a}[/math] через поверхность [math]S[/math] [math]\int_S(\mathbf{a},\mathbf{n})dS=\int_S (a_xdydz+a_ydxdz+a_zdxdy)[/math] так что в вашем случае поле имеет компоненты [math]a_x=x^2[/math], [math]a_y=0[/math], [math]a_z=z[/math]. Дивергенция этого поля равна [math]\mathbf{div}\,\mathbf{a}=2x+1[/math] Теорема Гаусса Отроградского утверждает, что поток векторного поля [math]\mathbf{a}[/math] через замкнутую поверхность [math]S[/math] равен объемному интегралу от дивергенции этого поля [math]\int_V \mathbf{div}\,\mathbf{a} \,dV= \int_S(\mathbf{a},\mathbf{n})dS[/math] В данном случае интеграл по объему вычисляется легко, а, чтобы сделать поверхность замкнутой, нужно добавить "крышечку" [math]z=4[/math], и по ней тоже интерграл вычисляется легко. Продолжить, или доделаете сами? А какой у вас ответ получается? |
||
Вернуться к началу | ||
VKarpov |
|
|
Вычислить поверхностный интеграл второго рода [math]I=\iint\limits_{S}x^2dydz+zdxdy[/math] , где [math]S[/math]- часть поверхности параболоида [math]z=x^2+y^2[/math] (нормальный вектор n которой образует тупой угол с ортом k), отсекаемая плоскостью [math]z=4[/math]
интегралу от дивергенции этого поля [math]I=\int_V \mathbf{div}\,\mathbf{a} \,dV- \int_S(\mathbf{a},\mathbf{n})dS=\int_V (2x+1) \,dV -\int_S4dS=V -4S[/math] где [math]V[/math] -- объем параболоида, а [math]S[/math] -- площадь "крышечки" [math]\int_V dV=\int_0^4\pi z dz=8\pi[/math], [math]S=4\pi[/math], т.е. вроде бы ответ [math]-8\pi[/math] Если не ошибся в арифметике. Проверьте. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю VKarpov "Спасибо" сказали: ful317 |
||
ful317 |
|
|
VKarpov писал(а): Вычислить поверхностный интеграл второго рода [math]I=\iint\limits_{S}x^2dydz+zdxdy[/math] , где [math]S[/math]- часть поверхности параболоида [math]z=x^2+y^2[/math] (нормальный вектор n которой образует тупой угол с ортом k), отсекаемая плоскостью [math]z=4[/math] интегралу от дивергенции этого поля [math]I=\int_V \mathbf{div}\,\mathbf{a} \,dV- \int_S(\mathbf{a},\mathbf{n})dS=\int_V (2x+1) \,dV -\int_S4dS=V -4S[/math] где [math]V[/math] -- объем параболоида, а [math]S[/math] -- площадь "крышечки" [math]\int_V dV=\int_0^4\pi z dz=8\pi[/math], [math]S=4\pi[/math], т.е. вроде бы ответ [math]-8\pi[/math] Если не ошибся в арифметике. Проверьте. я решил по другому. Ответ 8pi. Ответ сошёлся |
||
Вернуться к началу | ||
kane577 |
|
|
помогите вычислить поверхностный интеграл второго рода, 116 номер из виноградова
|
||
Вернуться к началу | ||
mad_math |
|
|
kane577 писал(а): 116 номер из виноградова То есть мы за вас ещё и по задачнику шерстить должны? |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 10 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |