Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Spoke |
|
|
Вернуться к началу | ||
Alexdemath |
|
|
Spoke, так как поверхность замкнутая, то для вычисления потока воспользуйтесь формулой Гаусса-Остроградского и перейдите в цилиндрические координаты
[math]\operatorname{div} \vec a(M) = \frac{\partial }{{\partial x}}(1 + \sqrt z ) + \frac{\partial }{{\partial y}}(4y - \sqrt x ) + \frac{\partial }{{\partial z}}(xy) = 4[/math] [math]\begin{aligned}V &= \left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\colon\, x^2+y^2 \leqslant\!{\left(\frac{3}{2}\right)\!}^2,~ 2\sqrt{x^2+y^2}\leqslant z \leqslant 3\right\} \\ &x = r\cos \varphi,~~y = r\sin \varphi ,~~z = z,~~|J| = r \\ V^{\ast}&= \left\{(r,\varphi,z)\in\mathbb{R}^3\colon\, 0 \leqslant r \leqslant \frac{3}{2},~0 \leqslant\varphi\leqslant 2\pi,~2r \leqslant z \leqslant 3\right\}\end{algned}[/math] [math]\begin{aligned}\Pi&= \iiint\limits_V \operatorname{div} \vec a(M)\,dx\,dy\,dz= \iiint\limits_V 4\,dx\,dy\,dz= 4\iiint\limits_{V^{\ast}}|J|\,dr\,d\varphi\,dz=\\ &= 4\int\limits_0^{2\pi}d\varphi \int\limits_0^{3/2}r\,dr \int\limits_{2r}^3 dz= 4 \cdot 2\pi \int\limits_0^{3/2}r(3-2r)\,dr= \ldots=9\pi\end{aligned}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали: Chromegolf, Spoke |
||
Spoke |
|
|
Alexdemath откуда взяты значения радиуса 3/2 ? Как находились в данном случае пределы для dz? Что за |J| равное радиусу здесь присутствует?
|
||
Вернуться к началу | ||
Alexdemath |
|
|
Spoke писал(а): откуда взяты значения радиуса 3/2 Из системы уравнений [math]z^2=4(x^2+y^2),~z=3[/math] следует [math]x^2+y^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2[/math], а это - уравнение окружности с радиусом [math]\frac{3}{2}[/math] и центром в начале координат. Spoke писал(а): Что за |J| равное радиусу здесь присутствует? Это модуль якобиана преобразования координат. Почитайте, как переходить в цилиндрическую систему координат. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали: Spoke |
||
[ Сообщений: 4 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |