Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 5 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
veress |
|
|
Даны векторное поле [math]\bar a = \bar a(M)[/math] и две поверхности [math]\sigma_1[/math] и [math]\sigma_2[/math]. Вычислите: 1) поток векторного поля [math]\bar a(M)[/math] через замкнутую поверхность σ, ограниченную поверхностями [math]\sigma_1[/math] и [math]\sigma_2[/math], в направлении внешней нормали; 2) циркуляцию векторного поля [math]\bar a(M)[/math] вдоль линии L пересечения по-верхностей [math]\sigma_1[/math] и [math]\sigma_2[/math] в положительном направлении обхода относительно орта [math]\bar k = (0;0;1).[/math] [math]\bar a(M) = - z\bar i + (x + z)\bar j + z\bar k,[/math] [math]\sigma_1\colon\, x^2+y^2=z,[/math] [math]\sigma_2\colon\, x^2+y^2=2z-1.[/math] Я построил эти две поверхности, ту часть, где они образовывают замкнутую поверхность: Не могу расставить пределы в формуле Остроградского-Гаусса нормально. Помогите, как будет правильно и, если кто-то дойдет до конца, какие вообще ответы в этом задании, чтобы можно было хотя бы свериться. Заранее большое спасибо за помощь. |
||
Вернуться к началу | ||
Alexdemath |
|
|
Для начала посчитайте дивергенцию векторного поля: [math]\operatorname{div} \vec a(M) = \frac{\partial }{{\partial x}}( - z) + \frac{\partial }{{\partial y}}(x + z) + \frac{\partial }{{\partial z}}z = 0 + 0 + 1 = 1[/math]
Проекцией пересечения параболоидов на плоскость Oxy является окружность [math]x^2+y^2=1[/math] [math]\begin{aligned}V&= \left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\colon\, x^2+y^2\leqslant 1,~x^2+y^2\leqslant z \leqslant \frac{x^2+y^2+1}{2}\right\}\\ &x = r\cos \varphi ,~~y = r\sin \varphi ,~~z = z\\ V^{\ast}&= \left\{(r,\varphi ,z)\in\mathbb{R}^3\colon\, 0 \leqslant r \leqslant 1,~0 \leqslant \varphi \leqslant 2\pi,~{r^2} \leqslant z \leqslant \frac{{{r^2} + 1}}{2}\right\}\\[5pt] \Pi&= \iiint\limits_V \operatorname{div} \vec a(M)\,dxdydz= \iiint\limits_V {dxdydz} = \iiint\limits_{V^{\ast}}r\,drd\varphi dz= \int\limits_0^{2\pi } {d\varphi } \int\limits_0^1 r\,dr \int\limits_{r^2}^{\tfrac{r^2+1}{2}}dz=\\ &= 2\pi \int\limits_0^1 r\,dr \left( {\frac{{{r^2} + 1}}{2} - {r^2}} \right) = \pi \int\limits_0^1 {(r - {r^3})dr} = \left. {\pi\!\left(\frac{r^2}{2} - \frac{r^4}{4}\right)}\right|_0^1 = \pi\!\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right) = \frac{\pi }{4}\end{aligned}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
veress |
|
|
Alexdemath
Спасибо большое, буду разбираться!) |
||
Вернуться к началу | ||
veress |
|
|
Извините, что поднимаю тему из небытия, но может кто-нибудь сможет подсказать, как делать второй пункт этого задания? Ну совсем беда у меня с полями...
И ещё, может есть какой-то подробный материал по полям, чтобы прочитать и хотя бы понятно было, потому что везде как-то всё укорочено, без примеров и хочется убиться короче. |
||
Вернуться к началу | ||
Stas Risen |
|
|
Ты спроецируй фигуру на ось XOY. Там пределы легко будет расставить.
|
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 5 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |