Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Поток и циркуляция векторного поля
СообщениеДобавлено: 15 апр 2012, 17:29 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
15 апр 2012, 10:31
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Всем привет. Есть вот такая задача:

Даны векторное поле [math]\bar a = \bar a(M)[/math] и две поверхности [math]\sigma_1[/math] и [math]\sigma_2[/math]. Вычислите:
1) поток векторного поля [math]\bar a(M)[/math] через замкнутую поверхность σ, ограниченную поверхностями [math]\sigma_1[/math] и [math]\sigma_2[/math], в направлении внешней нормали;
2) циркуляцию векторного поля [math]\bar a(M)[/math] вдоль линии L пересечения по-верхностей [math]\sigma_1[/math] и [math]\sigma_2[/math] в положительном направлении обхода относительно орта [math]\bar k = (0;0;1).[/math]

[math]\bar a(M) = - z\bar i + (x + z)\bar j + z\bar k,[/math]
[math]\sigma_1\colon\, x^2+y^2=z,[/math]
[math]\sigma_2\colon\, x^2+y^2=2z-1.[/math]

Я построил эти две поверхности, ту часть, где они образовывают замкнутую поверхность:

Изображение

Не могу расставить пределы в формуле Остроградского-Гаусса нормально. Помогите, как будет правильно и, если кто-то дойдет до конца, какие вообще ответы в этом задании, чтобы можно было хотя бы свериться. Заранее большое спасибо за помощь.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поток и циркуляция векторного поля
СообщениеДобавлено: 15 апр 2012, 18:58 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Для начала посчитайте дивергенцию векторного поля: [math]\operatorname{div} \vec a(M) = \frac{\partial }{{\partial x}}( - z) + \frac{\partial }{{\partial y}}(x + z) + \frac{\partial }{{\partial z}}z = 0 + 0 + 1 = 1[/math]
Проекцией пересечения параболоидов на плоскость Oxy является окружность [math]x^2+y^2=1[/math]

[math]\begin{aligned}V&= \left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\colon\, x^2+y^2\leqslant 1,~x^2+y^2\leqslant z \leqslant \frac{x^2+y^2+1}{2}\right\}\\ &x = r\cos \varphi ,~~y = r\sin \varphi ,~~z = z\\ V^{\ast}&= \left\{(r,\varphi ,z)\in\mathbb{R}^3\colon\, 0 \leqslant r \leqslant 1,~0 \leqslant \varphi \leqslant 2\pi,~{r^2} \leqslant z \leqslant \frac{{{r^2} + 1}}{2}\right\}\\[5pt] \Pi&= \iiint\limits_V \operatorname{div} \vec a(M)\,dxdydz= \iiint\limits_V {dxdydz} = \iiint\limits_{V^{\ast}}r\,drd\varphi dz= \int\limits_0^{2\pi } {d\varphi } \int\limits_0^1 r\,dr \int\limits_{r^2}^{\tfrac{r^2+1}{2}}dz=\\ &= 2\pi \int\limits_0^1 r\,dr \left( {\frac{{{r^2} + 1}}{2} - {r^2}} \right) = \pi \int\limits_0^1 {(r - {r^3})dr} = \left. {\pi\!\left(\frac{r^2}{2} - \frac{r^4}{4}\right)}\right|_0^1 = \pi\!\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right) = \frac{\pi }{4}\end{aligned}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поток и циркуляция векторного поля
СообщениеДобавлено: 15 апр 2012, 19:20 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
15 апр 2012, 10:31
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexdemath
Спасибо большое, буду разбираться!)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поток и циркуляция векторного поля
СообщениеДобавлено: 24 апр 2012, 15:27 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
15 апр 2012, 10:31
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Извините, что поднимаю тему из небытия, но может кто-нибудь сможет подсказать, как делать второй пункт этого задания? Ну совсем беда у меня с полями...

И ещё, может есть какой-то подробный материал по полям, чтобы прочитать и хотя бы понятно было, потому что везде как-то всё укорочено, без примеров и хочется убиться короче.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Поток и циркуляция векторного поля
СообщениеДобавлено: 24 апр 2012, 20:38 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 апр 2012, 20:29
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ты спроецируй фигуру на ось XOY. Там пределы легко будет расставить.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Циркуляция векторного поля

в форуме Векторный анализ и Теория поля

sdsdf

1

783

29 окт 2015, 17:46

Циркуляция векторного поля

в форуме Векторный анализ и Теория поля

GrimJoy

6

1121

22 май 2016, 14:04

Циркуляция векторного поля

в форуме Векторный анализ и Теория поля

limao

0

442

29 май 2021, 10:24

Циркуляция векторного поля

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Lyuda

1

442

26 окт 2017, 17:13

Циркуляция векторного поля

в форуме Векторный анализ и Теория поля

uncleS4m

3

584

10 ноя 2017, 11:50

Циркуляция плоского векторного поля

в форуме Векторный анализ и Теория поля

999ART

1

448

18 дек 2016, 19:51

Циркуляция векторного поля по контуру

в форуме Векторный анализ и Теория поля

d3fault

5

872

01 июн 2017, 22:11

Циркуляция векторного поля по теореме Стокса

в форуме Векторный анализ и Теория поля

identam

2

352

29 апр 2020, 17:39

Вычислить поток векторного поля (Теория поля)

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Artyr95

1

1617

27 май 2014, 07:24

Вычислить поток векторного поля (Теория поля)

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Marina11111

1

784

01 фев 2020, 14:34


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved