Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Градиент и производная скалярной функции по направлению
СообщениеДобавлено: 05 янв 2012, 17:00 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 дек 2011, 17:03
Сообщений: 16
Откуда: Санкт-Петербург
Cпасибо сказано: 14
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Дана скалярная функция z=(x^2)+x*y+y^2
найти:
grad в точке А (1;1) и производную в точке А п направлению вектора а=2i-j

Заранее благодарен))

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Производная функции по направлению вектора
СообщениеДобавлено: 05 янв 2012, 21:14 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 авг 2011, 00:18
Сообщений: 575
Откуда: Краков, Польша
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
576 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 265

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Производную функции [math]z[/math] в точке [math]A[/math] по направлению вектора [math]\vec{a}[/math] можем найти по формуле

[math]\frac{\partial\,z(A)}{\partial\,\vec a} = \Bigl\langle \mathbf{grad}\,z(A),\,\vec{a}\,^{\circ}\Bigr\rangle[/math]

_________________________________
В нашей задаче

[math]z=x^2+xy+y^2, \hspace{4mm}\vec a=2\vec i-\vec j, \hspace{4mm}A(1,1)[/math]

Найдём градиент функции [math]z[/math]

[math]\begin{aligned}\mathbf{grad}\,z &= \frac{\partial}{\partial x}(x^2+xy+y^2)\,\vec i + \frac{\partial}{\partial y}(x^2+xy+y^2)\,\vec j =\\[4pt] &=(2x+y)\vec i + (2y+x)\vec j}\end{aligned}[/math]

Найдём градиент функции [math]z[/math] в точке [math]A[/math]

[math]\mathbf{grad}\,z(1,1)=(2\cdot 1+1)\vec i + (2\cdot 1+1)\vec j}= 3\vec i +3\vec j[/math]

Найдём орт вектора [math]\vec{a}[/math]

[math]\vec{a}\,^{\circ}= \frac{\vec a}{|\vec a|}= \frac{2\,\vec i - \,\vec j}{\sqrt{2^2+ (-1)^2}}= \frac{2\,\vec i -\,\vec j}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}(2,-1)[/math]


И теперь можем вычислить производную функции [math]z[/math] в точке [math]A[/math] по направлению вектора [math]\vec{a}[/math]

[math]\frac{\partial\,z(A)}{\partial\,\vec a} = \Bigl\langle \mathbf{grad}\,z(A),\,\vec{a}\,^{\circ}\Bigr\rangle= \frac{1}{\sqrt 5}(3\cdot 2+3\cdot (-1))=\frac{3}{\sqrt 5}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю SzaryWilk "Спасибо" сказали:
neurocore
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Производная по направлению и градиент функции

в форуме Дифференциальное исчисление

AbirkulovSherali

4

478

21 ноя 2016, 20:29

Производная по направлению и градиент

в форуме Дифференциальное исчисление

Alexandr1337

0

290

23 дек 2015, 19:27

Найти градиент и производную функции по направлению вектора

в форуме Векторный анализ и Теория поля

farell

2

570

22 июн 2017, 18:00

Найти градиент и производную по направлению

в форуме Векторный анализ и Теория поля

parenyuk

6

358

28 июн 2018, 11:07

Найти градиент и производную в точке по направлению вектора

в форуме Векторный анализ и Теория поля

SamJa

1

538

01 янв 2018, 13:42

Производная по направлению

в форуме Дифференциальное исчисление

Chavak

3

1124

16 апр 2014, 20:57

Производная по направлению

в форуме Дифференциальное исчисление

HitGirl

2

166

06 мар 2020, 12:32

Производная по направлению

в форуме Дифференциальное исчисление

photographer

2

362

25 мар 2015, 22:16

Производная по направлению нормали

в форуме Векторный анализ и Теория поля

God_mode_2016

4

335

18 сен 2021, 21:01

Производная по направлению вектора

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

lockyst

4

318

17 июн 2018, 12:33


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved