Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность
СообщениеДобавлено: 17 дек 2011, 09:50 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
16 дек 2011, 06:12
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите решить следующее задание.
Найти поток векторного поля [math]\overrightarrow{a}[/math]через замкнутую поверхность [math]\sigma=\sigma_1+\sigma_2[/math] (выбирается внешняя нормаль к [math]\sigma[/math]).
[math]\overrightarrow{a}=(2x-3y)\overrightarrow{i}+(5z-4y)\overrightarrow{j}+(6z-2y^2-6)\overrightarrow{k}[/math],
[math]\sigma_1:x^2+y^2=(z-1)^2,\sigma_2:z=-1.[/math]

Я беру интеграл по [math]\sigma _{1}[/math]:
[math]\Pi _1=\int_{0}^{2\cdot \pi }{d \varphi }\int_{0}^{2}{ \rho \cdot (\frac{-4 \cdot \rho ^{2} \cdot (cos( \varphi ))^{2}-10\cdot \rho ^{2} \cdot (sin( \varphi ))^{2} -3\cdot \rho ^{2} \cdot cos( \varphi )\cdot sin( \varphi )+5 \cdot \rho \cdot sin( \varphi )}{ \rho \cdot (\sqrt{(cos( \varphi ))^{2}+(sin( \varphi ))^{2} } )} +5 \cdot \rho \cdot sin( \varphi )+2 \cdot \rho ^{2}\cdot sin( \varphi ) )d \rho }[/math]
И по [math]\sigma _{2}[/math]:
[math]\Pi _2=\int_{0}^{2\cdot \pi }{d \varphi }\int_{0}^{2}{ \rho \cdot (-12 -2\cdot \rho ^{2} \cdot (sin( \varphi ))^{2})d \rho }[/math]
Скажите хотя бы это правильно?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность
СообщениеДобавлено: 29 дек 2011, 05:25 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ref

Воспользуйтесь формулой Остроградского-Гаусса.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
Ref
 Заголовок сообщения: Re: Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность
СообщениеДобавлено: 29 дек 2011, 22:47 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
16 дек 2011, 06:12
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexdemath писал(а):
Ref

Воспользуйтесь формулой Остроградского-Гаусса.


Нужно и по формуле и без формулы вычислить. Я посчитал и так, и так, но не сходятся результаты(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность
СообщениеДобавлено: 31 дек 2011, 09:37 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Поверхность [math]\sigma[/math] представляет собой поверхность прямого конуса [math]V[/math] с осью [math]OZ[/math], вершиной в точке [math](0,0,1)[/math] и высотой равной [math]2[/math].
Сначала получим ответ с помощью формулы Остроградского
[math]\iint\limits_\sigma {\overrightarrow a \cdot \overrightarrow n d\sigma } = \iiint\limits_V {\operatorname{div} \overrightarrow a \;}dxdydz =4\iiint\limits_V {dxdydz}=4 \cdot\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 4 \cdot 2 = \frac{{32}}{3} \cdot \pi[/math]
Непосредственное вычисление. Сначала по основанию конуса [math]\sigma _2[/math].
У вас не учтён знак перед интегралом. Видимо, ошибка произошла из-за того, что Вы не учли направление нормали [math]\overrightarrow n = - \overrightarrow k[/math]
[math]\Pi _2 = - \int\limits_0^{2\pi } {d\phi } \int\limits_0^2 {\rho \left( { - 12 - 2\rho ^2 \sin ^2 \phi }\right)d\rho } = 56\pi[/math]
Ваш интеграл по поверхности [math]\sigma _1[/math] я не понял.
Внешняя нормаль к поверхности конуса имеет вид (в прямоугольных координатах)
[math]\frac{{\left\{ {x,y,1 - z} \right\}}}{{\sqrt {x^2 + y^2 + \left( {1 - z} \right)^2 } }}[/math]
Поэтому
[math]\Pi _1 = \iint\limits_{\sigma _2 } {\overrightarrow a \cdot \overrightarrow n \;d\sigma } = \iint\limits_{\sigma _2 } {\frac{{\left( {2x - 3y} \right)x + \left( {5z - 4y} \right)y + \left( {6z - 6 - 2y^2 } \right)\left( {1 - z} \right)}}{{\sqrt {x^2 + y^2 + \left( {1 - z} \right)^2 } }}\;d\sigma }[/math]
Из соображений симметрии (нечётности) некоторые слагаемые при интегрировании в итоге дают нуль. Поэтому
[math]\Pi _1 = \iint\limits_{\sigma _2 } {\frac{{2x^2 - 4y^2 + \left( {6z - 6 - 2y^2 } \right)\left( {1 - z} \right)}}{{\sqrt {x^2 + y^2 + \left( {1 - z} \right)^2 } }}\;d\sigma }[/math]
Проектируя на плоскость XOY, получим
[math]\Pi _1 = \iint\limits_D {\left( {\frac{{2x^2 - 4y^2 }}{{\sqrt {x^2 + y^2 } }} - 6\sqrt {x^2 + y^2 } - 2y^2 } \right)\;dxdy}[/math]
Переходя к полярным координатам, получим
[math]\Pi _1 = - 40\pi - \frac{{16}}{3}\pi[/math]
В итоге, придём к ответу
[math]\Pi _1 + \Pi _2 = \frac{{32}}{3}\pi[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
Alexdemath, Ref
 Заголовок сообщения: Re: Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность
СообщениеДобавлено: 04 янв 2012, 21:08 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
16 дек 2011, 06:12
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Огромное спасибо!!!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность
СообщениеДобавлено: 08 янв 2012, 12:59 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
16 дек 2011, 06:12
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop писал(а):
Поверхность [math]\sigma[/math] представляет собой поверхность прямого конуса [math]V[/math] с осью [math]OZ[/math], вершиной в точке [math](0,0,1)[/math] и высотой равной [math]2[/math].
Сначала получим ответ с помощью формулы Остроградского
[math]\iint\limits_\sigma {\overrightarrow a \cdot \overrightarrow n d\sigma } = \iiint\limits_V {\operatorname{div} \overrightarrow a \;}dxdydz =4\iiint\limits_V {dxdydz}=4 \cdot\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 4 \cdot 2 = \frac{{32}}{3} \cdot \pi[/math]
Непосредственное вычисление. Сначала по основанию конуса [math]\sigma _2[/math].
У вас не учтён знак перед интегралом. Видимо, ошибка произошла из-за того, что Вы не учли направление нормали [math]\overrightarrow n = - \overrightarrow k[/math]
[math]\Pi _2 = - \int\limits_0^{2\pi } {d\phi } \int\limits_0^2 {\rho \left( { - 12 - 2\rho ^2 \sin ^2 \phi }\right)d\rho } = 56\pi[/math]
Ваш интеграл по поверхности [math]\sigma _1[/math] я не понял.
Внешняя нормаль к поверхности конуса имеет вид (в прямоугольных координатах)
[math]\frac{{\left\{ {x,y,1 - z} \right\}}}{{\sqrt {x^2 + y^2 + \left( {1 - z} \right)^2 } }}[/math]
Поэтому
[math]\Pi _1 = \iint\limits_{\sigma _2 } {\overrightarrow a \cdot \overrightarrow n \;d\sigma } = \iint\limits_{\sigma _2 } {\frac{{\left( {2x - 3y} \right)x + \left( {5z - 4y} \right)y + \left( {6z - 6 - 2y^2 } \right)\left( {1 - z} \right)}}{{\sqrt {x^2 + y^2 + \left( {1 - z} \right)^2 } }}\;d\sigma }[/math]
Из соображений симметрии (нечётности) некоторые слагаемые при интегрировании в итоге дают нуль. Поэтому
[math]\Pi _1 = \iint\limits_{\sigma _2 } {\frac{{2x^2 - 4y^2 + \left( {6z - 6 - 2y^2 } \right)\left( {1 - z} \right)}}{{\sqrt {x^2 + y^2 + \left( {1 - z} \right)^2 } }}\;d\sigma }[/math]
Проектируя на плоскость XOY, получим
[math]\Pi _1 = \iint\limits_D {\left( {\frac{{2x^2 - 4y^2 }}{{\sqrt {x^2 + y^2 } }} - 6\sqrt {x^2 + y^2 } - 2y^2 } \right)\;dxdy}[/math]
Переходя к полярным координатам, получим
[math]\Pi _1 = - 40\pi - \frac{{16}}{3}\pi[/math]
В итоге, придём к ответу
[math]\Pi _1 + \Pi _2 = \frac{{32}}{3}\pi[/math]

У меня [math]\Pi _1 = - 16\pi - \frac{{52}}{3}\pi[/math]. Не понимаю что сделал неправильно!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность
СообщениеДобавлено: 09 янв 2012, 08:38 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Покажите свои вычисления или укажите в каком месте Ваши вычисления отличаются от моих.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
Ref
 Заголовок сообщения: Re: Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность
СообщениеДобавлено: 09 янв 2012, 19:11 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
16 дек 2011, 06:12
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop писал(а):
Покажите свои вычисления или укажите в каком месте Ваши вычисления отличаются от моих.


Проектируя на плоскость XOY, получим
[math]\Pi _1 = \iint\limits_D {\left( {\frac{{2x^2 - 4y^2 }}{{\sqrt {x^2 + y^2 } }} - 6\sqrt {x^2 + y^2 } - 2y^2 } \right)\;dxdy}=\int\limits_{0}\limits^{2\pi}{d\phi}\int\limits_{0}\limits^{2}({\frac{2\cdot {\rho}^2\cdot cos^2 \phi-4\cdot \rho^2 \cdot sin^2 \phi}{\sqrt {\rho^2\cdot (cos ^2 \phi+sin^2 \phi)}}-6\cdot \rho-2\cdot \rho^2 \cdot sin^2 \phi)d\rho=[/math]
[math]=\int\limits_{0}\limits^{2\pi}{d\phi}\int\limits_{0}\limits^{2}(2\cdot {\rho}\cdot cos^2 \phi-4\cdot \rho\cdot sin^2 \phi-6\cdot \rho-2\cdot \rho^2 \cdot sin^2 \phi)d\rho=\int\limits_{0}\limits^{2\pi}(4\cdot cos^2 \phi-8\cdot sin^2 \phi-12-\frac{16}{3}sin^2 \phi){d\phi}[/math]
[math]=\int\limits_{0}\limits^{2\pi}(-8-\frac{52}{3}\cdot(\frac{1-cos2\cdot \phi}{2})){d\phi}=- 16\pi - \frac{{52}}{3}\pi[/math]
Что здесь неправильно?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность
СообщениеДобавлено: 09 янв 2012, 19:50 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
При переходе к полярным координатам Вы забыли якобиан преобразования.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
Ref
 Заголовок сообщения: Re: Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность
СообщениеДобавлено: 09 янв 2012, 22:10 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
16 дек 2011, 06:12
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop писал(а):
При переходе к полярным координатам Вы забыли якобиан преобразования.

Подскажите, что я забыл?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 14 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Alex1219

2

301

20 май 2020, 13:37

Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность S

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Alex1219

1

434

22 май 2020, 12:49

Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Sofia123456

3

327

13 июн 2021, 18:03

Поток векторного поля через замкнутую поверхность

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Tilyam

0

874

14 янв 2015, 11:23

Найти поток векторного поля через поверхность

в форуме Векторный анализ и Теория поля

EVO_X

0

679

23 дек 2015, 18:52

Найти поток векторного поля F через незамкнутую поверхность

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Linc

4

533

22 ноя 2021, 16:17

Поток векторного поля через поверхность

в форуме Векторный анализ и Теория поля

honey

1

294

07 май 2020, 22:23

Поток векторного поля через поверхность

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Alina20092009

22

944

22 май 2020, 14:22

Поток векторного поля через поверхность

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Kaori

1

381

03 апр 2020, 19:56

Поток векторного поля через полную поверхность конуса

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Yurievna

5

1195

04 апр 2018, 12:30


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 15


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved