Произвделение мер. Сохранение измеримости

Не понял переход в учебнике Виноградов, Громов "Курс математического анализа 3ч." Глава 9 "теория меры", параграф 8 "произведение мер", лемма 3.

[math]\left( X1, \mathfrak{A1}, \mu 1 \right)[/math], [math]\left( X2, \mathfrak{A2}, \mu 2 \right)[/math] - пространства с мерами;
[math]\mu 1[/math] [math]\times[/math] [math]\mu 2[/math] - произведение мер [math]\mu 1[/math] и [math]\mu 2[/math], определенное на [math]\sigma[/math] - алгебре [math]\mathfrak{A1}[/math] [math]\otimes[/math] [math]\mathfrak{A2}[/math];
***
( произведение мер "выше" строилось так : [math]\mathscr{P1}[/math] = [math]\left\{ P \in \mathfrak{A1} | \mu 1 (P) < + \infty \right\}[/math] , [math]\mathscr{P2}[/math] = [math]\left\{ P \in \mathfrak{A2} | \mu 2 (P) < + \infty \right\}[/math] - полукольца подмножеств X1 и X2 соответственно. [math]\mathscr{P} = \mathscr{P1} \times \mathscr{P2}[/math] - произведение полуколец, полукольцо подмножеств X = X1 [math]\times[/math] X2. На [math]\mathscr{P}[/math] определялась функция [math]\mu[/math] : [math]\mu (A \times B) = \mu 1 (A) \cdot
\mu 2 (B)[/math] , доказывалось, что она не просто объем на [math]\mathscr{P}[/math], но и МЕРА. Дальше к этой мере, заданной на полукольце применяется процедура стандартного продолжения и получается [math]\mu 1[/math] [math]\times[/math] [math]\mu 2[/math] - произведение мер [math]\mu 1[/math] и [math]\mu 2[/math], определенное на [math]\sigma[/math] - алгебре [math]\mathfrak{A1}[/math] [math]\otimes[/math] [math]\mathfrak{A2}[/math])
***

Утверждается , что [math]\forall A \in \mathfrak{A1}, B \in \mathfrak{A2}[/math] [math]A \times B[/math] [math]\in[/math] [math]\mathfrak{A1}[/math] [math]\otimes[/math] [math]\mathfrak{A2}[/math], то есть, [math]\mathfrak{A1}[/math] [math]\times[/math] [math]\mathfrak{A2}[/math] [math]\subset[/math] [math]\mathfrak{A1}[/math] [math]\otimes[/math] [math]\mathfrak{A2}[/math]

Доказательство

Вначале делается вспомогательное утверждение, доказательство которого не ясно.

[math]\mathfrak{A1'}[/math] - система счетных объединений множеств из [math]\mathscr{P1}[/math] , [math]\mathfrak{A2'}[/math] - система счетных объединений множеств из [math]\mathscr{P2}[/math]
[math]\forall E \subset X[/math] [math]\mu^{*} (E)[/math] = [math]\inf \left\{ \sum\limits_{k=1}^{ \infty } \mu (P_{k}) | E \subset \bigcup\limits_{k=1}^{ \infty } P_{k}, \forall k \in \mathbb{N} P_{k} \in \mathscr{P} \right\}[/math] - внешняя мера, порожденная [math]\mu[/math].

Само утверждение, которое не понятно.
[math]\forall E \subset X[/math] если Pr[math]_{1} (E) \notin \mathfrak{A1'}[/math], то [math]\mu ^{*} (E) = + \infty[/math]
(Pr[math]_{1}[/math] - проекция E на X[math]_{1}[/math])

Доказательство этого утверждения

Если E можно покрыть [math]\bigcup\limits_{k=1}^{ \infty } A_{k} \times B_{k}[/math], где [math]\forall k \in
\mathbb{N} A_{k} \in \mathscr{P1}, B_{k} \in \mathscr{P2}[/math], то Pr[math]_{1} (E) \subset \bigcup\limits_{k=1}^{ \infty } A_{K}[/math] И ТОГДА* ЭТО ПРОТИВОРЕЧИТ ТОМУ, ЧТО [math]\ Pr_{1} (E) \notin \mathfrak{A1'}[/math] и тогда по определению внешней меры она + [math]\infty[/math]

---------
Что я не понимаю :
переход *
([math]\ Pr_{1} (E) = Pr_{1} (E) \cap \bigcup\limits_{k=1}^{ \infty } A_{k} = \bigcup\limits_{k=1}^{ \infty } A_{k} \cap Pr_{1} (E)[/math], если бы [math]\ Pr_{1} (E) \in \mathfrak{A1}[/math] , то тогда бы [math]\ A_{k} \cap Pr_{1} (E) \in \mathfrak{A1}[/math] и по монотонности меры [math]\mu 1[/math] [math]\ A_{k} \cap Pr_{1} (E) \in \mathscr{P1}[/math], тогда [math]\ Pr_{1} (E) \in \mathfrak{A1'}[/math] , НО ПРО ПРОЕКЦИЮ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОДМНОЖЕСТВА X на X1 НЕЛЬЗЯ СКАЗАТЬ ЧТО ОНА ПРИНАДЛЕЖИТ [math]\mathfrak{A1}[/math], ЗА ИСКЛЮЧЕНИЕМ ТОГО ЧАСТНОГО СЛУЧАЯ КОГДА ЭТО ПОДМНОЖЕСТВО В КОЛЬЦЕ, ПОРОЖДЕННОМ ПОЛУКОЛЬЦОМ, КОТОРЫЙ БЫЛ РАССМОТРЕН В ЛЕММЕ 1 ЭТОГО ПАРАГРАФА [math]\mathscr{P}[/math] )