Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

ЛИКБЕЗ. Мера Лебега
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=34&t=71121
Страница 1 из 2

Автор:  Student Studentovich [ 14 сен 2020, 19:11 ]
Заголовок сообщения:  ЛИКБЕЗ. Мера Лебега

Доброго времени суток!
Рассмотрим меры Жордана и Лебега на [math]\mathbb{R}^1[/math] или [math]\mathbb{R}^n[/math]
Верхняя и няжняя мера Жордана определяются как
[math]\mu^*(A)=\inf_{\substack{A_1,A_2,...,A_k\\ A \subseteq \bigcup\limits_{ i=1 }^{ k } A_i }}\sum\limits_{j=1}^{k}m(A_j)[/math] и
[math]\mu_*(A)=\sup_{\substack{A_1,A_2,...,A_k\\ A \subseteq \bigcup\limits_{ i=1 }^{ k } A_i }}\sum\limits_{j=1}^{k}m(A_j)[/math], где [math]k[/math] конечно.

Верхняя мера Лебега (или просто мера для измеримых по Лебегу множества) определяются как [math]\mu_L^*(A)=\inf_{\substack{A_1,A_2,...,A_n\\ A \subseteq \bigcup\limits_{ i=1 }^{ n } A_i }}\sum\limits_{j=1}^{n}m(A_j)[/math], где уже [math]k[/math] может быть бесконечным (но [math]i,j[/math] пробегают в этом случае счетное множество).
И в первом и во втором случаях [math]A_i[/math] "прямоугольники" с произвольными границами (включая или нет), а [math]m(A_i)[/math] классический объем.
Ну и сами вопросы:
1) Почему Жордан брал [math]n[/math] только конечным? Ведь естественнее пытаться "замостить" произвольное множество бесконечным числом прямоугольников. С учетом верхней и нижней меры Жодана, будет ли тогда это вообще мерой?
2) Рассматривая меру Лебега для облупленного примера [math]A=[0,1] \cap \mathbb{Q}[/math]
заметил, что сначала мера вычисляется для множества иррациональных точек единичного отрезка, которая равна единице, а потом пользуются аддитивностью. Не пойму почему?
3) Ну и последний не существенный вопрос. Может кто знает, почему Lebesgue на русском читается без 'c'.

Буду благодарен любым существенным разъяснениям.

Автор:  MihailM [ 14 сен 2020, 20:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: ЛИКБЕЗ. Мера Лебега

Student Studentovich писал(а):
почему Lebesgue на русском читается без 'c'

Если послушать как произносится это слово на французском (в интернете), то явственно слышится Лебег, наверно поэтому и по-русски тоже Лебег)
Student Studentovich писал(а):
С учетом верхней и нижней меры Жодана, будет ли тогда это вообще мерой?

Мера Жордана как известно не мера

Автор:  searcher [ 14 сен 2020, 20:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: ЛИКБЕЗ. Мера Лебега

Student Studentovich писал(а):
Почему Жордан брал n только конечным?

Наверное ему хватало.

Автор:  MihailM [ 14 сен 2020, 23:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: ЛИКБЕЗ. Мера Лебега

Student Studentovich писал(а):
заметил, что сначала

А для чего это делалось?

Автор:  Student Studentovich [ 15 сен 2020, 10:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: ЛИКБЕЗ. Мера Лебега

MihailM
Для того чтобы показать что мера А со второго вопроса равна нулю. Или она показывается через доказательство равенства нулю меры счетного множества или как указал. По определению не нашел

Автор:  swan [ 15 сен 2020, 11:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: ЛИКБЕЗ. Мера Лебега

Student Studentovich, нумеруем точки и i-ю точку заключаем в отрезок длины е/2^i. То есть любое счётное множество имеет меру нуль. Доказательство в одну строчку по определению. Что вы имели в виду, непонятно

Автор:  swan [ 15 сен 2020, 12:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: ЛИКБЕЗ. Мера Лебега

MihailM писал(а):
Мера Жордана как известно не мера

MihailM, я впервые сталкиваюсь с таким радикальным утверждением. Можно немного поподробнее?

Автор:  MihailM [ 15 сен 2020, 17:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: ЛИКБЕЗ. Мера Лебега

Мера обычно счетно-аддитивная.
Если она конечно-аддитивная, то так всегда и пишут конечно-аддитивная мера или аддитивная функция множества.
Богачев В.И.: "Счетно-аддитивная функция множества, определенная на алгебре, называется мерой".

Автор:  Student Studentovich [ 15 сен 2020, 20:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: ЛИКБЕЗ. Мера Лебега

swan писал(а):
Student Studentovich, нумеруем точки и i-ю точку заключаем в отрезок длины е/2^i. То есть любое счётное множество имеет меру нуль. Доказательство в одну строчку по определению. Что вы имели в виду, непонятно

Да это стандартный путь по определению, однако пока [math]\varepsilon\ne 0[/math] эти окрестности "больше" множество чем [math]A[/math]. Почему такой предельных переход верен, ведь пока [math]\varepsilon\ne 0[/math] окрестности всегда будут содержать иррац. числа. С таким же успехом можно тогда говорить, что покрываем [math]A[/math] пустым множеством [math]-[/math] прямоугольниками с нулевыми сторонами, которые считаются пустыми множествами семейства множеств. А последнее, то есть покрытие пустыми множествами не пустое...режет слух. Точнее, что то не догоняю.

И возвращаясь, к первому вопросу из топика. Если рассматривать в определении внешней и внутренней меры Жордана, не только конечные суммы, то верхние меры Лебега и Жордана совпали бы. Однако внутренняя мера Лебега вводится через внешнюю ( как разность между верхними мерами какого нибудь покрытия и дополнения до этого покрытия).
И возникает у меня резонный вопрос совпадут ли внутренние меры в этом случае?

Автор:  MihailM [ 15 сен 2020, 21:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: ЛИКБЕЗ. Мера Лебега

Student Studentovich писал(а):
совпадут ли внутренние меры в этом случае?

Совпадут конечно

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/