Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: ЛИКБЕЗ. Мера Лебега
СообщениеДобавлено: 14 сен 2020, 19:11 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 ноя 2016, 21:32
Сообщений: 1001
Откуда: Махачкала
Cпасибо сказано: 62
Спасибо получено:
171 раз в 161 сообщениях
Очков репутации: 28

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго времени суток!
Рассмотрим меры Жордана и Лебега на [math]\mathbb{R}^1[/math] или [math]\mathbb{R}^n[/math]
Верхняя и няжняя мера Жордана определяются как
[math]\mu^*(A)=\inf_{\substack{A_1,A_2,...,A_k\\ A \subseteq \bigcup\limits_{ i=1 }^{ k } A_i }}\sum\limits_{j=1}^{k}m(A_j)[/math] и
[math]\mu_*(A)=\sup_{\substack{A_1,A_2,...,A_k\\ A \subseteq \bigcup\limits_{ i=1 }^{ k } A_i }}\sum\limits_{j=1}^{k}m(A_j)[/math], где [math]k[/math] конечно.

Верхняя мера Лебега (или просто мера для измеримых по Лебегу множества) определяются как [math]\mu_L^*(A)=\inf_{\substack{A_1,A_2,...,A_n\\ A \subseteq \bigcup\limits_{ i=1 }^{ n } A_i }}\sum\limits_{j=1}^{n}m(A_j)[/math], где уже [math]k[/math] может быть бесконечным (но [math]i,j[/math] пробегают в этом случае счетное множество).
И в первом и во втором случаях [math]A_i[/math] "прямоугольники" с произвольными границами (включая или нет), а [math]m(A_i)[/math] классический объем.
Ну и сами вопросы:
1) Почему Жордан брал [math]n[/math] только конечным? Ведь естественнее пытаться "замостить" произвольное множество бесконечным числом прямоугольников. С учетом верхней и нижней меры Жодана, будет ли тогда это вообще мерой?
2) Рассматривая меру Лебега для облупленного примера [math]A=[0,1] \cap \mathbb{Q}[/math]
заметил, что сначала мера вычисляется для множества иррациональных точек единичного отрезка, которая равна единице, а потом пользуются аддитивностью. Не пойму почему?
3) Ну и последний не существенный вопрос. Может кто знает, почему Lebesgue на русском читается без 'c'.

Буду благодарен любым существенным разъяснениям.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: ЛИКБЕЗ. Мера Лебега
СообщениеДобавлено: 14 сен 2020, 20:11 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 1596
Cпасибо сказано: 16
Спасибо получено:
278 раз в 255 сообщениях
Очков репутации: 28

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Student Studentovich писал(а):
почему Lebesgue на русском читается без 'c'

Если послушать как произносится это слово на французском (в интернете), то явственно слышится Лебег, наверно поэтому и по-русски тоже Лебег)
Student Studentovich писал(а):
С учетом верхней и нижней меры Жодана, будет ли тогда это вообще мерой?

Мера Жордана как известно не мера

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю MihailM "Спасибо" сказали:
Student Studentovich
 Заголовок сообщения: Re: ЛИКБЕЗ. Мера Лебега
СообщениеДобавлено: 14 сен 2020, 20:23 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 6822
Cпасибо сказано: 83
Спасибо получено:
1165 раз в 1098 сообщениях
Очков репутации: 188

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Student Studentovich писал(а):
Почему Жордан брал n только конечным?

Наверное ему хватало.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: ЛИКБЕЗ. Мера Лебега
СообщениеДобавлено: 14 сен 2020, 23:01 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 1596
Cпасибо сказано: 16
Спасибо получено:
278 раз в 255 сообщениях
Очков репутации: 28

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Student Studentovich писал(а):
заметил, что сначала

А для чего это делалось?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: ЛИКБЕЗ. Мера Лебега
СообщениеДобавлено: 15 сен 2020, 10:27 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 ноя 2016, 21:32
Сообщений: 1001
Откуда: Махачкала
Cпасибо сказано: 62
Спасибо получено:
171 раз в 161 сообщениях
Очков репутации: 28

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
MihailM
Для того чтобы показать что мера А со второго вопроса равна нулю. Или она показывается через доказательство равенства нулю меры счетного множества или как указал. По определению не нашел

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: ЛИКБЕЗ. Мера Лебега
СообщениеДобавлено: 15 сен 2020, 11:51 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 5653
Cпасибо сказано: 87
Спасибо получено:
1228 раз в 1121 сообщениях
Очков репутации: 242

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Student Studentovich, нумеруем точки и i-ю точку заключаем в отрезок длины е/2^i. То есть любое счётное множество имеет меру нуль. Доказательство в одну строчку по определению. Что вы имели в виду, непонятно

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
Student Studentovich
 Заголовок сообщения: Re: ЛИКБЕЗ. Мера Лебега
СообщениеДобавлено: 15 сен 2020, 12:01 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 5653
Cпасибо сказано: 87
Спасибо получено:
1228 раз в 1121 сообщениях
Очков репутации: 242

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
MihailM писал(а):
Мера Жордана как известно не мера

MihailM, я впервые сталкиваюсь с таким радикальным утверждением. Можно немного поподробнее?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: ЛИКБЕЗ. Мера Лебега
СообщениеДобавлено: 15 сен 2020, 17:01 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 1596
Cпасибо сказано: 16
Спасибо получено:
278 раз в 255 сообщениях
Очков репутации: 28

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Мера обычно счетно-аддитивная.
Если она конечно-аддитивная, то так всегда и пишут конечно-аддитивная мера или аддитивная функция множества.
Богачев В.И.: "Счетно-аддитивная функция множества, определенная на алгебре, называется мерой".

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: ЛИКБЕЗ. Мера Лебега
СообщениеДобавлено: 15 сен 2020, 20:42 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 ноя 2016, 21:32
Сообщений: 1001
Откуда: Махачкала
Cпасибо сказано: 62
Спасибо получено:
171 раз в 161 сообщениях
Очков репутации: 28

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
Student Studentovich, нумеруем точки и i-ю точку заключаем в отрезок длины е/2^i. То есть любое счётное множество имеет меру нуль. Доказательство в одну строчку по определению. Что вы имели в виду, непонятно

Да это стандартный путь по определению, однако пока [math]\varepsilon\ne 0[/math] эти окрестности "больше" множество чем [math]A[/math]. Почему такой предельных переход верен, ведь пока [math]\varepsilon\ne 0[/math] окрестности всегда будут содержать иррац. числа. С таким же успехом можно тогда говорить, что покрываем [math]A[/math] пустым множеством [math]-[/math] прямоугольниками с нулевыми сторонами, которые считаются пустыми множествами семейства множеств. А последнее, то есть покрытие пустыми множествами не пустое...режет слух. Точнее, что то не догоняю.

И возвращаясь, к первому вопросу из топика. Если рассматривать в определении внешней и внутренней меры Жордана, не только конечные суммы, то верхние меры Лебега и Жордана совпали бы. Однако внутренняя мера Лебега вводится через внешнюю ( как разность между верхними мерами какого нибудь покрытия и дополнения до этого покрытия).
И возникает у меня резонный вопрос совпадут ли внутренние меры в этом случае?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: ЛИКБЕЗ. Мера Лебега
СообщениеДобавлено: 15 сен 2020, 21:04 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 1596
Cпасибо сказано: 16
Спасибо получено:
278 раз в 255 сообщениях
Очков репутации: 28

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Student Studentovich писал(а):
совпадут ли внутренние меры в этом случае?

Совпадут конечно

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 16 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Мера Лебега-Стилтьеса и регулярная борелевская мера

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Metrika

1

1383

01 дек 2010, 03:14

Мера Лебега в R^n

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Pirat

3

660

09 июн 2013, 20:59

Мера Лебега

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

korr4

6

490

18 янв 2015, 17:38

Измеримость Функции и мера Лебега

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

GALINA2010

0

381

14 фев 2014, 17:10

Мера Лебега на образе отображения

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

neverquestionme

4

256

27 авг 2018, 20:12

Мера Лебега некоторых множеств

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Gargantua

5

288

31 мар 2018, 21:37

Ряд Лорана. ЛИКБЕЗ по ТФКП

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Student Studentovich

4

187

23 фев 2020, 11:39

Мера длины

в форуме Геометрия

valentina

7

484

05 сен 2012, 10:42

Радианная мера угла

в форуме Алгебра

Olga1975

1

198

28 янв 2015, 00:20

Радианная мера угла

в форуме Алгебра

Olga1975

5

267

28 янв 2015, 00:13


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved