Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Полнота метрического пространства
СообщениеДобавлено: 09 фев 2020, 15:27 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
08 фев 2020, 18:05
Сообщений: 8
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Уважаемые форумчане, помогите разобраться.
Докажите, что p[math]\left(x,y\right)[/math]=[math]\sqrt{\left(x1^{2}-y1^{2} \right)+\left( x2^{2}-y2^{2} \right) }[/math]/является метрикой на [math]\mathbb{R} ^{2}[/math]. Выясните, является ли пространство полным.


С доказательством того, является ли это метрикой вопросов у меня нет, просто подстановка данного выражения в три аксиомы.
А вот насчет полноты не уверен.

Я думаю так:
Поскольку [math]\mathbb{R} ^{2}[/math] полно, то рассмотрим фундаментальную последовательность [math]\left\{x^{(n)} \right\}[/math]
По определению фундаментальной последовательности: [math]\forall \varepsilon[/math] [math]\exists n_{0}[/math] [math]\in \mathbb{N } \forall k,m>n_{0}[/math]
Выполняется неравенство: [math]\sqrt{\left( \sum\limits_{i=1}^{2} \left( x_{i}^{(n)}-x_{i}^{(m)} \right)^{2} \right) }[/math]< [math]\varepsilon[/math]
Аналогично для y
Ну и, собственно вопрос, этого достаточно для доказательства полноты?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Полнота метрического пространства
СообщениеДобавлено: 09 фев 2020, 17:16 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 5869
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
917 раз в 872 сообщениях
Очков репутации: 168

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Asiria писал(а):
Я думаю так:
Поскольку [math]\mathbb{R} ^{2}[/math] полно,

Мне показалось, что именно это вам надо доказать.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Полнота метрического пространства
СообщениеДобавлено: 09 фев 2020, 18:16 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
08 фев 2020, 18:05
Сообщений: 8
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher
В этой задаче несколько пунктов, сверху я написал про один из них. Все метрики(если он таковыми являются) берутся на координатной плоскости и для каждой надо выявить, является она полной или нет.
Так то, что я привёл является доказательством полноты или может, я что то совсем неправильно понял?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Полнота метрического пространства
СообщениеДобавлено: 09 фев 2020, 18:54 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 5869
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
917 раз в 872 сообщениях
Очков репутации: 168

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Asiria писал(а):
Поскольку [math]\mathbb{R} ^{2}[/math] полно

относительно какой метрики?


Последний раз редактировалось searcher 09 фев 2020, 18:59, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Полнота метрического пространства
СообщениеДобавлено: 09 фев 2020, 18:57 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 5869
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
917 раз в 872 сообщениях
Очков репутации: 168

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Asiria писал(а):
или может, я что то совсем неправильно понял?

Это выяснится в процессе обсуждения. Пока я чего-то не понимаю. А именно смысл отдельного предложения, которое я процитировал. Если бы вы его прокомментировали, было бы хорошо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Полнота метрического пространства
СообщениеДобавлено: 09 фев 2020, 19:22 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
08 фев 2020, 18:05
Сообщений: 8
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher
Видимо я лишнего понаписал. Мы просто берём последовательность, которая является фундаментальной.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Полнота метрического пространства
СообщениеДобавлено: 09 фев 2020, 19:26 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 5869
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
917 раз в 872 сообщениях
Очков репутации: 168

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Asiria писал(а):
Мы просто берём последовательность,

Последовательность чего?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Полнота метрического пространства
СообщениеДобавлено: 09 фев 2020, 19:40 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
08 фев 2020, 18:05
Сообщений: 8
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher
Ну, просто последовательность каких-то чисел

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Полнота метрического пространства
СообщениеДобавлено: 09 фев 2020, 20:03 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 5869
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
917 раз в 872 сообщениях
Очков репутации: 168

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Asiria писал(а):
Ну, просто последовательность каких-то чисел

Скопируйте ваше доказательство в новый пост и исправьте, а то его трудно стало обсуждать. Непонятно, о чём говорим.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Полнота метрического пространства
СообщениеДобавлено: 09 фев 2020, 20:08 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 5869
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
917 раз в 872 сообщениях
Очков репутации: 168

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Asiria
Пока ваше доказательство выглядит так: "Рассмотрим фундаментальную последовательность [math]x^n[/math]. (Пояснение, что это означает). Аналогично для [math]y[/math] ."
Asiria писал(а):
Ну и, собственно вопрос, этого достаточно для доказательства полноты?

По моему мнению недостаточно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 16 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Полнота метрического пространства

в форуме Численные методы

tanya_195

1

352

13 июн 2015, 10:59

Полнота метрического пространства

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Ann96

1

358

22 ноя 2015, 16:18

Неравенство треугольника и полнота метрического пространства

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Mishima

1

297

04 дек 2016, 19:44

Полнота пространства (X,p)

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

shooroop

10

781

20 дек 2013, 22:52

Сепарабельное метрического пространства

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

SAVANTOS

3

333

27 май 2015, 19:59

Пополнение метрического пространства

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Pottfer

7

364

14 мар 2017, 19:52

Проверить полноту метрического пространства X

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

JosephK

3

1144

09 мар 2012, 22:10

Найти пополнение метрического пространства

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

mugler02

1

487

24 дек 2013, 11:14

Как доказать полноту метрического пространства?

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Morozy4

3

1287

13 июн 2013, 00:43

Показать полноту метрического пространства

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

MNOPRST

1

348

18 апр 2015, 12:08


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved