Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Метрический тензор и получение взаимного базиса
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=34&t=68073
Страница 1 из 1

Автор:  Rabelais [ 14 янв 2020, 13:46 ]
Заголовок сообщения:  Метрический тензор и получение взаимного базиса

Здравствуйте.

Имеются координаты векторов базиса относительно декартовой системы координат:

[math]\vec{e}[/math][math]_{1}[/math] [math]=[/math] [math]\left( \frac{ \sqrt{3} }{ 2 };\frac{ 1 }{ 2 }\right)[/math]
[math]\vec{e}[/math][math]_{2}[/math] [math]=[/math] [math]\left( 1;0\right)[/math]

Нужно найти метрический тензор и координаты взаимного базиса. Сначала хотел с тензором разобраться.

Как я понял, для нахождения метр.тензора надо матрицу(перехода), составленную из столбцов координат моих базисных векторов перемножить на ее транспонированный вид? То есть вот так:

[math]\boldsymbol{g}[/math][math]_{i}[/math][math]_{k}[/math] [math]=[/math] [math]\begin{pmatrix} \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } & 0 \\ \frac{ 1 }{ 2 } & 1 \end{pmatrix}[/math] [math]\times[/math] [math]\begin{pmatrix} \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } & \frac{ 1 }{ 2 } \\ 0 & 1 \end{pmatrix}[/math] [math]=[/math] [math]\begin{pmatrix} \frac{ 3 }{ 4 } & \frac{ \sqrt{3} }{ 4 } \\ \frac{ \sqrt{3} }{ 4 } & \frac{ 5 }{ 4 } \end{pmatrix}[/math]

Но, если не ошибаюсь, компоненты [math]\boldsymbol{g}[/math][math]_{1}[/math][math]_{1}[/math] и [math]\boldsymbol{g}[/math][math]_{2}[/math][math]_{2}[/math] это вроде бы квадраты длин базисных векторов, нет? Квадраты длин то равны 1, а здесь... и тут как бы не стыковка выходит?

Если же изначально в матрице перехода базисные векторы записать в строки, а не столбцы, то длинны получатся 1 и тензор будет иметь вид:

[math]\boldsymbol{g}[/math][math]_{i}[/math][math]_{k}[/math] [math]=[/math] [math]\begin{pmatrix} \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } & \frac{ 1 }{ 2 } \\ 0 & 1 \end{pmatrix}[/math] [math]\times[/math] [math]\begin{pmatrix} \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } & 0 \\ \frac{ 1 }{ 2 } & 1 \end{pmatrix}[/math] [math]=[/math] [math]\begin{pmatrix} 1 & 0,5 \\ 0,5 & 1 \end{pmatrix}[/math]

Подскажите пожалуйста, как же правильно и почему? Большое спасибо.

Автор:  Tantan [ 14 янв 2020, 14:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Метрический тензор и получение взаимного базиса

Rabelais писал(а):
матрицу(перехода), составленную из столбцов координат моих базисных векторов

Эта матрица не та, каторая написали, а
[math]\begin{pmatrix} \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } & 1 \\ \frac{ 1 }{ 2 } & 0 \end{pmatrix}[/math]

Автор:  Rabelais [ 14 янв 2020, 15:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Метрический тензор и получение взаимного базиса

Tantan писал(а):
Эта матрица не та, каторая написали, а


Прошу прощения, ошибся в координатах базисного вектора [math]\vec{e}[/math][math]_{2}[/math], должно быть: [math]\vec{e}[/math][math]_{2}[/math] [math]=[/math] [math]\left( 0;1\right)[/math], конечно же.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/