Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Обобщение непрерывности меры
СообщениеДобавлено: 06 июл 2019, 12:22 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
18 авг 2014, 18:08
Сообщений: 74
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте. Пусть задана мера [math]\mu[/math] на кольце [math]\mathcal{R}[/math] и последовательность множеств [math]\{E_k\}[/math] из [math]\mathcal{R}[/math]. Необходимо доказать следующие два утверждения:
1) Пусть [math]\bigcap\limits_{i = n}^{\infty } \in \mathcal{R}, \, n=1,2, \ldots[/math]. Тогда [math]\mu(\liminf_{n} E_n ) \leqslant \liminf_{n} \mu{E_n}[/math]
2) Пусть [math]\bigcup\limits_{i = n}^{\infty } \in \mathcal{R}, \, n=1,2, \ldots[/math] и [math]\mu(\bigcup\limits_{i = n}^{\infty} ) < \infty[/math] хотя бы для одного [math]n[/math]. Тогда [math]\mu(\limsup{n} E_n ) \geqslant \limsup_{n} \mu{E_n}[/math] а

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Обобщение непрерывности меры
СообщениеДобавлено: 08 июл 2019, 15:43 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4090
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1807 раз в 1504 сообщениях
Очков репутации: 377

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По-хорошему в условии нужно добавить, чтобы [math]\liminf_{n\to\infty} E_n[/math] и [math]\limsup_{n\to\infty}E_n[/math] тоже лежали в кольце, ибо из текущих условий это не следует.

[math]\liminf_{n\to\infty} E_n=\bigcup_{n=1}^{\infty}F_n[/math], где [math]F_n=\bigcap_{k=n}^{\infty}E_k[/math]. Поскольку [math]F_n\subset F_{n+1}[/math], то в силу непрерывности [math]\mu[/math] снизу

[math]\mu(\liminf_{n\to\infty}E_n)=\lim_{n\to\infty}\mu(F_n)\quad(*)[/math]

С другой стороны [math]F_n\subset E_k[/math] при всех [math]k\geqslant n[/math], поэтому [math]\mu(F_n)\leqslant\mu(E_k)[/math]. Переходя в этом неравенстве к нижней грани по [math]k\geqslant n[/math], получаем

[math]\mu(F_n)\leqslant\inf_{k\geqslant n}\mu(E_k)\quad(**)[/math]

Из (*) и (**) следует утверждение 1). Утверждение 2) доказывается абсолютно аналогично.

Честно говоря, вряд ли эти неравенства можно назвать обобщением непрерывности меры. Например, если [math]E_n[/math] образуют возрастающую последовательность множеств, то неравенство в утверждении 1) будет даже слабее непрерывности снизу по этой последовательности.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Обобщение непрерывности меры
СообщениеДобавлено: 08 июл 2019, 18:50 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
18 авг 2014, 18:08
Сообщений: 74
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо. Действительно, упомянутые Вами условия необходимо добавить.

Строго говоря, это действительно не является обобщением понятия непрерывности. Хотелось лишь подчеркнуть тот факт, что данные неравенства выполняются для произвольных множеств, в отличие от равенств для монотонных множеств в определении непрерывности мер. А равенство достигается, когда последовательность [math]E_n -[/math] сходящаяся, то есть [math]\liminf_{n} E_n = \limsup_{n} E_n =\lim_{n} E_n[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Обобщение ВТФ: гипотеза

в форуме Палата №6

ivashenko

9

621

23 сен 2014, 22:59

Обобщение теории множеств

в форуме Размышления по поводу и без

ivashenko

12

520

17 сен 2017, 03:38

Обобщение неравенства Гронуолла-Беллмана

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

vip_gevorg

8

1196

23 мар 2012, 21:40

Комбинаторно-вероятностный смысл и обобщение константы pi

в форуме Дискуссионные математические проблемы

ivashenko

7

681

29 мар 2014, 00:36

Квадраты, обобщение числа пи и таинственная гамма-функция

в форуме Теория чисел

ivashenko

4

629

01 мар 2016, 20:35

Биологические меры

в форуме Химия и Биология

Peter Belobrov

0

225

09 окт 2016, 20:51

Счётная аддитивность меры

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

winmord

0

161

28 июн 2015, 13:49

Най­ди­те меры всех об­ра­зо­ван­ных углов

в форуме Геометрия

fondo

2

200

17 фев 2016, 15:14

Определение меры схожести

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

evsxx1

0

361

27 июн 2013, 22:17

Доказательство непрерывности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Kosta

1

177

09 янв 2016, 16:54


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved