Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Эквивалентность метрики
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=34&t=61917
Страница 1 из 1

Автор:  DucAnh456 [ 06 окт 2018, 03:23 ]
Заголовок сообщения:  Эквивалентность метрики

Пусть [math]\left( X,m \right)[/math] - метрическое пространство. Покажите, что [math]d_{1} = \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}[/math] также является метрикой в X. Пусть U является подмножеством множества X. Докажите, что U открыто с заданной метрикой d тогда и только тогда, когда U открыто с метрикой [math]d_{1}[/math]

Ну с аксиомой тождества, симметричностью понятно, а с неравенством треугольника вот, что у меня вышло:
Пусть [math]d(x,y)=a, d(y,z)=b, d(x,z)=c.[/math] Тогда [math]d_1(x,y)+d_1(y,z)-d_1(x,z)=\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}-\frac{c}{1+c}=\frac{a+b-c+2ab+abc}{(1+a)(1+c)(1+c)} \geqslant 0.[/math] (так как [math]a+b \geqslant c[/math], числитель и знаменатель, оба положительны). Следовательно, [math]d_1(x,y)+d_1(y,z) \geqslant d_1(x,z)[/math]

Далее, с открытым множеством. Сначала я рассмотрел случай, когда U открыто с метрикой d. Тогда все точки U - внутренние. Пусть x - внутренняя точка U, тогда существет окрестность точки x [math]N_{r}(x)=\left\{p \in X|d(x,p)<r \right\}[/math] (окрестность радиуса r), такая что [math]N_{r}(x)\subset U[/math]. Пусть точка p принадлежит этой окрестности, тогда [math]d(x,p)<r[/math]. То есть [math]r>d(x,p)>\frac{d(x,p)}{1+d(x,p)}=d_{1}(x,p)[/math]. Следовательно, существует окрестность [math]M_r(x)=\left\{p \in X|d_1(x,p)<r \right\}[/math], и в ней лежит точка p. Получается U открыто с метрикой [math]d_{1}[/math].

Теперь в обратную сторону, U открыто с метрикой [math]d_{1}[/math]. Пусть x - внутренняя точка U, тогда существует окрестность точки [math]x\ \ M_r(x)=\left\{p \in X|d(x,p)<r \right\}[/math]. Тогда существует R, такое что [math]d(x,p)<R[/math]. Докажем от противного, допустим нет такого R, тогда нет такого R, при котором [math]\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)} < R[/math]. Но [math]d_1(x,p)<r[/math], противоречие. Следовательно, существует окрестность [math]N_r(x)=\left\{p \in X|d(x,p)<R\right\}[/math].Получается U открыто с метрикой [math]d[/math].

Теперь собственно вопрос: правильно ли мое доказательство, и если есть неточности подкорректируйте их пожалуйста? Спасибо.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/