Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Эквивалентность метрики
СообщениеДобавлено: 06 окт 2018, 03:23 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 сен 2018, 05:21
Сообщений: 8
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пусть [math]\left( X,m \right)[/math] - метрическое пространство. Покажите, что [math]d_{1} = \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}[/math] также является метрикой в X. Пусть U является подмножеством множества X. Докажите, что U открыто с заданной метрикой d тогда и только тогда, когда U открыто с метрикой [math]d_{1}[/math]

Ну с аксиомой тождества, симметричностью понятно, а с неравенством треугольника вот, что у меня вышло:
Пусть [math]d(x,y)=a, d(y,z)=b, d(x,z)=c.[/math] Тогда [math]d_1(x,y)+d_1(y,z)-d_1(x,z)=\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}-\frac{c}{1+c}=\frac{a+b-c+2ab+abc}{(1+a)(1+c)(1+c)} \geqslant 0.[/math] (так как [math]a+b \geqslant c[/math], числитель и знаменатель, оба положительны). Следовательно, [math]d_1(x,y)+d_1(y,z) \geqslant d_1(x,z)[/math]

Далее, с открытым множеством. Сначала я рассмотрел случай, когда U открыто с метрикой d. Тогда все точки U - внутренние. Пусть x - внутренняя точка U, тогда существет окрестность точки x [math]N_{r}(x)=\left\{p \in X|d(x,p)<r \right\}[/math] (окрестность радиуса r), такая что [math]N_{r}(x)\subset U[/math]. Пусть точка p принадлежит этой окрестности, тогда [math]d(x,p)<r[/math]. То есть [math]r>d(x,p)>\frac{d(x,p)}{1+d(x,p)}=d_{1}(x,p)[/math]. Следовательно, существует окрестность [math]M_r(x)=\left\{p \in X|d_1(x,p)<r \right\}[/math], и в ней лежит точка p. Получается U открыто с метрикой [math]d_{1}[/math].

Теперь в обратную сторону, U открыто с метрикой [math]d_{1}[/math]. Пусть x - внутренняя точка U, тогда существует окрестность точки [math]x\ \ M_r(x)=\left\{p \in X|d(x,p)<r \right\}[/math]. Тогда существует R, такое что [math]d(x,p)<R[/math]. Докажем от противного, допустим нет такого R, тогда нет такого R, при котором [math]\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)} < R[/math]. Но [math]d_1(x,p)<r[/math], противоречие. Следовательно, существует окрестность [math]N_r(x)=\left\{p \in X|d(x,p)<R\right\}[/math].Получается U открыто с метрикой [math]d[/math].

Теперь собственно вопрос: правильно ли мое доказательство, и если есть неточности подкорректируйте их пожалуйста? Спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ 1 сообщение ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Эквивалентные метрики

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Free Dreamer

1

454

20 мар 2013, 01:32

Проверка метрики на l1

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

uriy

4

670

04 апр 2015, 14:20

Билипшицево эквивалентные метрики

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

constantin01

3

49

01 мар 2020, 13:51

Определить полноту метрики: есть она или нет?

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Annakerr

1

349

19 янв 2014, 23:28

Неравенство треугольника для энергетической метрики

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Susanna Gaybaryan

0

77

17 янв 2020, 23:20

Неравенство треугольника для энергетической метрики

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

sgaybaryan

3

1817

27 окт 2019, 10:46

Эквивалентные метрики, определенные на заданном множестве

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Metrika

3

1685

30 авг 2010, 01:30

Доказать выполнимость аксиомы треугольника для кв. метрики

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Vvn3012

1

335

07 фев 2020, 20:02

Две метрики порождают одну и туже топологию на множестве

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

_Sasha_

2

352

27 июн 2018, 15:24

Для метрики найти длины сторон, внутренние углы и площадь

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Aizh

2

683

10 мар 2013, 15:27


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved