Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Asitaka |
|
|
"Принимает значение 1, если аргумент является рациональным числом, и значение 0, если аргумент является иррациональным числом" [math]{\displaystyle D(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} ,\\0,&x\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} .\end{cases}}}[/math] Пока единственное простое объяснение того, что такое интеграл по Лебегу нашел в этой лекции. В Википедии утверждается, что интеграл функции Дирихле по Лебегу существует и равен нулю. Из определения интеграла по Лебегу понятно почему - потому что длины отрезков на которые разбивается функция равны нулю. А теперь возьмем перевернутую функцию Дирихле: [math]{\displaystyle D(x)={\begin{cases}0,&x\in \mathbb {Q} ,\\1,&x\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} .\end{cases}}}[/math] Ее интеграл по Лебегу ведь тоже равен нулю. А интеграл от суммы этих функций больше нуля. Интеграл по Лебегу является мерой множества. А мера "должна также обладать свойством аддитивности— мера объединения не пересекающихся множеств должна равняться сумме их мер". Интеграл по Лебегу противоречит определению меры. Что не так в моем рассуждении? |
||
Вернуться к началу | ||
Space |
|
|
Asitaka писал(а): В Википедии утверждается, что интеграл функции Дирихле по Лебегу существует и равен нулю. Из определения интеграла по Лебегу понятно почему - потому что длины отрезков на которые разбивается функция равны нулю. Рассудите сами. Какие отрезки? Как функция на них разбивается? И как вообще длина отрезка может быть равна нулю? Интеграл равен нулю потому, что функция отлична от нуля на множестве нулевой меры. Функция Дирихле — простая, то есть измеримая и имеющая конечное множество значений. Тогда по определению интеграла Лебега [math]\int\limits_{0}^{1} D(x)dx = 1 \cdot \mu (D(x) = 1) + 0 \cdot \mu (D(x) = 0) = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0[/math]. Через [math](D(x) = 0)[/math] обозначено множество тех [math]x \in [0,1][/math], для которых [math]D(x) = 0[/math]. Ну а теперь убедитесь аналогичным образом, что интеграл "перевернутой" функции Дирихле по отрезку [math][0,1][/math] равен [math]1[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
Space писал(а): Тогда по определению интеграла Лебега [math]\int\limits_{0}^{1} D(x)dx = 1 \cdot \mu (D(x) = 1) + 0 \cdot \mu (D(x) = 0) = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0[/math]. Вообще по-хорошему нулевое значение при вычислении интеграла от простой функции не должно учитываться. Иначе получается, например, что [math]\int\limits_{\mathbb{R}}0\,dx=0\cdot\mu(\mathbb{R})=0\cdot\infty=[/math] ??? в то время как должно быть [math]\int\limits_{\mathbb{R}}0\,dx=\mu(\varnothing)=0[/math] Это, правда, касается только функций, заданных на пространствах бесконечной меры, но все же... |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: Space |
||
Space |
|
|
Human писал(а): Это, правда, касается только функций, заданных на пространствах бесконечной меры Да, а здесь я пользовался определением для пространства, имеющего конечную меру. Я знаком с определением, которое сначала вводится для такого пространства, а затем распространяется и на случай сигма-конечной меры предельным переходом. Хотя, можно и просто по определению положить [math]0\cdot\infty = 0[/math], чтобы не писать лишнего. Такого соглашения придерживаются некоторые авторы, например, И. П. Натансон. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 4 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |