Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Противоречие в интегрируемости функции Дирихле по Лебегу
СообщениеДобавлено: 22 сен 2018, 17:58 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
20 мар 2018, 19:50
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Функция Дирихле:
"Принимает значение 1, если аргумент является рациональным числом, и значение 0, если аргумент является иррациональным числом"
[math]{\displaystyle D(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} ,\\0,&x\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} .\end{cases}}}[/math]

Пока единственное простое объяснение того, что такое интеграл по Лебегу нашел в этой лекции.

В Википедии утверждается, что интеграл функции Дирихле по Лебегу существует и равен нулю. Из определения интеграла по Лебегу понятно почему - потому что длины отрезков на которые разбивается функция равны нулю.

А теперь возьмем перевернутую функцию Дирихле:
[math]{\displaystyle D(x)={\begin{cases}0,&x\in \mathbb {Q} ,\\1,&x\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} .\end{cases}}}[/math]

Ее интеграл по Лебегу ведь тоже равен нулю.

А интеграл от суммы этих функций больше нуля.

Интеграл по Лебегу является мерой множества. А мера "должна также обладать свойством аддитивности— мера объединения не пересекающихся множеств должна равняться сумме их мер".
Интеграл по Лебегу противоречит определению меры.

Что не так в моем рассуждении?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Противоречие в интегрируемости функции Дирихле по Лебегу
СообщениеДобавлено: 22 сен 2018, 22:00 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 13:28
Сообщений: 540
Cпасибо сказано: 66
Спасибо получено:
172 раз в 160 сообщениях
Очков репутации: 32

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Asitaka писал(а):
В Википедии утверждается, что интеграл функции Дирихле по Лебегу существует и равен нулю. Из определения интеграла по Лебегу понятно почему - потому что длины отрезков на которые разбивается функция равны нулю.

Рассудите сами. Какие отрезки? Как функция на них разбивается? И как вообще длина отрезка может быть равна нулю?

Интеграл равен нулю потому, что функция отлична от нуля на множестве нулевой меры. Функция Дирихле — простая, то есть измеримая и имеющая конечное множество значений. Тогда по определению интеграла Лебега
[math]\int\limits_{0}^{1} D(x)dx = 1 \cdot \mu (D(x) = 1) + 0 \cdot \mu (D(x) = 0) = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0[/math].

Через [math](D(x) = 0)[/math] обозначено множество тех [math]x \in [0,1][/math], для которых [math]D(x) = 0[/math].

Ну а теперь убедитесь аналогичным образом, что интеграл "перевернутой" функции Дирихле по отрезку [math][0,1][/math] равен [math]1[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Противоречие в интегрируемости функции Дирихле по Лебегу
СообщениеДобавлено: 22 сен 2018, 22:17 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 4075
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1799 раз в 1500 сообщениях
Очков репутации: 374

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Space писал(а):
Тогда по определению интеграла Лебега
[math]\int\limits_{0}^{1} D(x)dx = 1 \cdot \mu (D(x) = 1) + 0 \cdot \mu (D(x) = 0) = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0[/math].

Вообще по-хорошему нулевое значение при вычислении интеграла от простой функции не должно учитываться. Иначе получается, например, что

[math]\int\limits_{\mathbb{R}}0\,dx=0\cdot\mu(\mathbb{R})=0\cdot\infty=[/math] ???

в то время как должно быть

[math]\int\limits_{\mathbb{R}}0\,dx=\mu(\varnothing)=0[/math]

Это, правда, касается только функций, заданных на пространствах бесконечной меры, но все же...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Space
 Заголовок сообщения: Re: Противоречие в интегрируемости функции Дирихле по Лебегу
СообщениеДобавлено: 23 сен 2018, 18:29 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 13:28
Сообщений: 540
Cпасибо сказано: 66
Спасибо получено:
172 раз в 160 сообщениях
Очков репутации: 32

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
Это, правда, касается только функций, заданных на пространствах бесконечной меры

Да, а здесь я пользовался определением для пространства, имеющего конечную меру. Я знаком с определением, которое сначала вводится для такого пространства, а затем распространяется и на случай сигма-конечной меры предельным переходом.
Хотя, можно и просто по определению положить [math]0\cdot\infty = 0[/math], чтобы не писать лишнего. Такого соглашения придерживаются некоторые авторы, например, И. П. Натансон.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Критерий интегрируемости по Лебегу

в форуме Интегральное исчисление

fLE++

0

54

16 дек 2017, 10:32

Измеримость функции по Лебегу

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

smog

2

448

16 ноя 2013, 02:06

Измеримые функции не интегрируемые по Лебегу

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

deaf335

7

427

07 сен 2016, 16:47

Интегрирование функции Дирихле

в форуме Интегральное исчисление

vrnvorona

2

138

27 июн 2017, 23:09

Планарность определенная через стягивание даёт противоречие

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

roboq6

10

259

21 окт 2016, 17:42

Доказательство интегрируемости

в форуме Интегральное исчисление

DarkSoulina

1

169

09 июн 2013, 21:58

Критерий интегрируемости(по Риману)

в форуме Интегральное исчисление

Shabuma

3

1656

09 апр 2013, 13:09

Интегрируемость по Бохнеру и по Лебегу. Вопрос

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

devilka

1

215

20 фев 2015, 11:32

Задача Дирихле

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Taras_Shevchuk

6

487

19 ноя 2012, 17:53

Функция Дирихле

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Einstein

5

257

14 дек 2016, 18:34


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved