Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 5 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
neverquestionme |
|
|
Вот у нас определена мера Лебега в R^2 . (мерой Лебега называется внешняя мера измеримого множества, т.е. такого множества, для которого для любого эпсилон существует такое элементарное множество,т.е состоящее из кубиков, для которого внешняя мера симметрической разности этого элементарного множества и множества, которое претендует на то, чтобы быть измеримым, меньше этого эпсилон) Возьмем отображение из R^2 в R. Например, с образом - окружностью. Ну то есть окуржность, заданную в полярных координатах в r^2. Вопрос: какой мера Лебега будет на этом образе? То есть нужно определение этой меры ( я так понимаю через меру Лебега множества в R^2) А также - чему равна эта мера! Преподоаватель написал уравнение окружности, например, x=3*cos(2phi), y=3*sin(2phi). Как я понимаю, мера в R^2 этой окружности равняется площади окружности. А что сказать про меру в R этой окружности, где единственная координата - phi, я не знаю. Сколько мы возьмем этой окружности, взяв сколько-то угла phi, зависит от коэффициента при phi под косинусами и синусами. Я подозреваю, что здесь как-то присутствует определитель матрицы Якоби этого отображения. Но как вот эти два вопроса описать формально, я не знаю вообще - не знаю даже, о чем говорить. А скоро вторая пересдача. Ну и от меня наверняка потребуют описать это все формально, а не на примере из R^2 в R с окружностью. Так же преподаватель, когда в конце пытался мне это объяснить, вроде использовал интеграл по мере. Где и зачем - я абсолютно без понятия, т.к. я ничего не понял. https://math.stackexchange.com/question ... ue-measure - здесь что-то про интеграл есть, в данный момент пытаюсь разобраться. На русском языке я ничего не смог почем-то найти Также вроде второе название для всего того что я описал - мера Лебега на гладких подмногообразиях, но я не уверен. Всем заранее спасибо! Надеюсь, что вы что-нибудь поняли и сможете помочь Подходящего раздела я не нашел, так что, модераторы, можете переместить, только туда, где хоть какая-та активность есть. Я на форуме в первый раз |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
neverquestionme писал(а): Преподоаватель написал уравнение окружности, например, x=3*cos(2phi), y=3*sin(2phi). Как я понимаю, мера в R^2 этой окружности равняется площади окружности. То есть нулю. neverquestionme писал(а): А что сказать про меру в R этой окружности, где единственная координата - phi, я не знаю Это окружность вы как-то параметризовали. При этом даже установили взаимно однозначное соответствие с интервалом [math][0,1)[/math]. На этом интервале можно ввести естественно меру Лебега. И она будет индуцировать меру Лебега и на окружности. Но это ответ в рамках стандартного курса анализа. А вы экзамен по какому курсу сдаёте и на каком курсе учитесь? Если стандартный курс ТФДП на втором курсе, то наверное на этом всё и вы зря заморачиваетсь и придумываете себе проблемы. А вот если вы сдаёте экзамен по какому-то хитрому спецкурсу, типа "мера на многообразиях" или "геометрическая теория меры", то тогда всё по-другому. И тогда меру на окружности вас попросили построить исходя из меры на [math]R^2[/math]. Можно конечно тут фантазировать, но лучше открыть конспект. Могу нафантазировать следующее. На плоскости кроме меры задана и метрика. Рассмотрим множество точек [math]A_ \varepsilon[/math] на [math]R^2[/math] , расстояние от которых до множества [math]A[/math] на окружности меньше [math]\varepsilon[/math]. Тогда под мерой множества [math]A[/math] можно взять предел [math]\lim_{ \varepsilon \to 0} \frac {m(A_ \varepsilon )}{ \varepsilon }[/math], где [math]m[/math] - мера Лебега на [math]R^2[/math] . |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали: neverquestionme |
||
neverquestionme |
|
|
searcher писал(а): А вы экзамен по какому курсу сдаёте и на каком курсе учитесь? Экзамен я сдаю по 4 семестру матанализа. Основные темы здесь у нас - Мера Лебега, интегралы Лебега, криволинейные и поверхностные интегралы первого и второго рода. Наверное, да, то, что вы описали, и требовалось. Или, может, требовалось сказать, что мера окружности этой в R будет равна криволинейному интегралу по этой окружности ? Т.е. [math]\int\limits_{M}[/math] dl , где M - наша коружность, а l - элемент ее длины дуги. [math]\int\limits_{M}[/math] dl = [math]\int\limits_{0}^{1}[/math] [math]\sqrt{36pi^2*sin^2 (2*pi*phi)+ 36pi^2*cos^2 (2*pi*phi) }[/math] dphi = 6 [math]\pi[/math] . Здесь 6 [math]\pi[/math] получилось у меня Периметр получается? |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
neverquestionme писал(а): Или, может, требовалось сказать, что мера окружности этой в R будет равна криволинейному интегралу по этой окружности ? Это в зависимости, как у вас курс построен и что раньше вводилось - мера или интеграл, и что на чём основывалось - мера на интеграле или интеграл на мере. |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
searcher писал(а): Это в зависимости, как у вас курс построен и что раньше вводилось - мера или интеграл, и что на чём основывалось - мера на интеграле или интеграл на мере. Это я ерунду написал. Интеграл по дуге сводится к одномерному интегралу и дальше к мере на [math]R[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 5 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |