Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Мера Лебега на образе отображения
СообщениеДобавлено: 27 авг 2018, 21:12 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 авг 2018, 20:51
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Меня на пересдаче преподаватель задал на тройку такой вопрос:
Вот у нас определена мера Лебега в R^2 . (мерой Лебега называется внешняя мера измеримого множества, т.е. такого множества, для которого для любого эпсилон существует такое элементарное множество,т.е состоящее из кубиков, для которого внешняя мера симметрической разности этого элементарного множества и множества, которое претендует на то, чтобы быть измеримым, меньше этого эпсилон) Возьмем отображение из R^2 в R. Например, с образом - окружностью. Ну то есть окуржность, заданную в полярных координатах в r^2. Вопрос: какой мера Лебега будет на этом образе? То есть нужно определение этой меры ( я так понимаю через меру Лебега множества в R^2) А также - чему равна эта мера! Преподоаватель написал уравнение окружности, например, x=3*cos(2phi), y=3*sin(2phi). Как я понимаю, мера в R^2 этой окружности равняется площади окружности. А что сказать про меру в R этой окружности, где единственная координата - phi, я не знаю. Сколько мы возьмем этой окружности, взяв сколько-то угла phi, зависит от коэффициента при phi под косинусами и синусами. Я подозреваю, что здесь как-то присутствует определитель матрицы Якоби этого отображения. Но как вот эти два вопроса описать формально, я не знаю вообще - не знаю даже, о чем говорить. А скоро вторая пересдача. Ну и от меня наверняка потребуют описать это все формально, а не на примере из R^2 в R с окружностью.

Так же преподаватель, когда в конце пытался мне это объяснить, вроде использовал интеграл по мере. Где и зачем - я абсолютно без понятия, т.к. я ничего не понял.
https://math.stackexchange.com/question ... ue-measure - здесь что-то про интеграл есть, в данный момент пытаюсь разобраться. На русском языке я ничего не смог почем-то найти

Также вроде второе название для всего того что я описал - мера Лебега на гладких подмногообразиях, но я не уверен.

Всем заранее спасибо! Надеюсь, что вы что-нибудь поняли и сможете помочь

Подходящего раздела я не нашел, так что, модераторы, можете переместить, только туда, где хоть какая-та активность есть. Я на форуме в первый раз

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Мера Лебега на образе отображения
СообщениеДобавлено: 28 авг 2018, 14:02 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 3899
Cпасибо сказано: 39
Спасибо получено:
580 раз в 550 сообщениях
Очков репутации: 133

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
neverquestionme писал(а):
Преподоаватель написал уравнение окружности, например, x=3*cos(2phi), y=3*sin(2phi). Как я понимаю, мера в R^2 этой окружности равняется площади окружности.

То есть нулю.
neverquestionme писал(а):
А что сказать про меру в R этой окружности, где единственная координата - phi, я не знаю

Это окружность вы как-то параметризовали. При этом даже установили взаимно однозначное соответствие с интервалом [math][0,1)[/math]. На этом интервале можно ввести естественно меру Лебега. И она будет индуцировать меру Лебега и на окружности. Но это ответ в рамках стандартного курса анализа.
А вы экзамен по какому курсу сдаёте и на каком курсе учитесь? Если стандартный курс ТФДП на втором курсе, то наверное на этом всё и вы зря заморачиваетсь и придумываете себе проблемы.
А вот если вы сдаёте экзамен по какому-то хитрому спецкурсу, типа "мера на многообразиях" или "геометрическая теория меры", то тогда всё по-другому. И тогда меру на окружности вас попросили построить исходя из меры на [math]R^2[/math]. Можно конечно тут фантазировать, но лучше открыть конспект.
Могу нафантазировать следующее. На плоскости кроме меры задана и метрика. Рассмотрим множество точек [math]A_ \varepsilon[/math] на [math]R^2[/math] , расстояние от которых до множества [math]A[/math] на окружности меньше [math]\varepsilon[/math]. Тогда под мерой множества [math]A[/math] можно взять предел [math]\lim_{ \varepsilon \to 0} \frac {m(A_ \varepsilon )}{ \varepsilon }[/math], где [math]m[/math] - мера Лебега на [math]R^2[/math] .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
neverquestionme
 Заголовок сообщения: Re: Мера Лебега на образе отображения
СообщениеДобавлено: 28 авг 2018, 14:55 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 авг 2018, 20:51
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
А вы экзамен по какому курсу сдаёте и на каком курсе учитесь?

Экзамен я сдаю по 4 семестру матанализа. Основные темы здесь у нас - Мера Лебега, интегралы Лебега, криволинейные и поверхностные интегралы первого и второго рода.
Наверное, да, то, что вы описали, и требовалось. Или, может, требовалось сказать, что мера окружности этой в R будет равна криволинейному интегралу по этой окружности ? Т.е. [math]\int\limits_{M}[/math] dl , где M - наша коружность, а l - элемент ее длины дуги. [math]\int\limits_{M}[/math] dl = [math]\int\limits_{0}^{1}[/math] [math]\sqrt{36pi^2*sin^2 (2*pi*phi)+ 36pi^2*cos^2 (2*pi*phi) }[/math] dphi = 6 [math]\pi[/math] . Здесь 6 [math]\pi[/math] получилось у меня :( Периметр получается?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Мера Лебега на образе отображения
СообщениеДобавлено: 28 авг 2018, 15:55 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 3899
Cпасибо сказано: 39
Спасибо получено:
580 раз в 550 сообщениях
Очков репутации: 133

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
neverquestionme писал(а):
Или, может, требовалось сказать, что мера окружности этой в R будет равна криволинейному интегралу по этой окружности ?

Это в зависимости, как у вас курс построен и что раньше вводилось - мера или интеграл, и что на чём основывалось - мера на интеграле или интеграл на мере.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Мера Лебега на образе отображения
СообщениеДобавлено: 28 авг 2018, 19:58 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 3899
Cпасибо сказано: 39
Спасибо получено:
580 раз в 550 сообщениях
Очков репутации: 133

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Это в зависимости, как у вас курс построен и что раньше вводилось - мера или интеграл, и что на чём основывалось - мера на интеграле или интеграл на мере.

Это я ерунду написал. Интеграл по дуге сводится к одномерному интегралу и дальше к мере на [math]R[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Мера Лебега в R^n

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Pirat

3

541

09 июн 2013, 21:59

Мера Лебега

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

korr4

6

390

18 янв 2015, 18:38

Мера Лебега некоторых множеств

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Gargantua

5

148

31 мар 2018, 22:37

Измеримость Функции и мера Лебега

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

GALINA2010

0

340

14 фев 2014, 18:10

Радианная мера угла

в форуме Алгебра

Olga1975

5

205

28 янв 2015, 01:13

Радианная мера угла

в форуме Алгебра

Olga1975

1

142

28 янв 2015, 01:20

Лебегова мера множеств

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

kristina93

4

427

19 ноя 2013, 16:53

Сигма-конечная мера

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

tyrjoy

0

155

23 окт 2016, 20:03

Мера ковра Серпинского

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

nadya s

14

498

03 дек 2015, 15:01

Мартингал, мартингальная мера, математическое ожидание

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

Shkola0717

0

352

15 янв 2015, 00:11


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved