Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Две метрики порождают одну и туже топологию на множестве
СообщениеДобавлено: 27 июн 2018, 15:24 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 дек 2016, 03:01
Сообщений: 448
Откуда: Минск, Беларусь
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
101 раз в 98 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
На множестве [math]X[/math] задана метрика [math]d[/math]. На множестве [math]X[/math] можно задать ещё одну метрику [math]d_1=\frac{ d }{ 1 + d }[/math]. Нужно доказать, что эти метрики порождают одну и туже топологию на множестве [math]X[/math]. Пусть метрика [math]d[/math] порождает на множестве [math]X[/math] топологию [math]\tau[/math], а метрика [math]d_1[/math] порождает топологию [math]\tau _1[/math].
Так как, [math]d_1=\frac{ d }{ 1 + d } \leqslant d[/math], то [math]\tau _1 \subseteq \tau[/math].
А как доказать обратное включение [math]\tau \subseteq \tau _1[/math]? Ведь неравенство [math]d \leqslant \alpha \, d_1[/math] не обязано выполняться для какого-нибудь [math]\alpha > 0[/math], так как метрика [math]d_1[/math] ограничена сверху числом [math]1[/math], а метрика [math]d[/math] может быть и неограничена. Какой здесь другой подход?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Две метрики порождают одну и туже топологию на множестве
СообщениеДобавлено: 27 июн 2018, 17:13 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 17:48
Сообщений: 870
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
206 раз в 187 сообщениях
Очков репутации: 31

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А зачем Вам такой [math]\alpha[/math].
Достаточно [math]\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \,\colon d_1(x, y) < \delta => d(x, y) < \varepsilon[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Две метрики порождают одну и туже топологию на множестве
СообщениеДобавлено: 27 июн 2018, 18:23 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 дек 2016, 03:01
Сообщений: 448
Откуда: Минск, Беларусь
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
101 раз в 98 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ваше утверждение следует из непрерывности функции [math]d_1=\frac{ d }{ 1 + d }[/math], как функции переменной [math]d[/math], в нуле (сама функция непрерывна на всей своей области определения, но нам достаточно, что она непрерывна в нуле).

Спрашиваю, только для того, чтобы перестраховаться.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Задать на точечном множестве топологию

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

kojimbo

1

63

11 мар 2020, 19:02

Эквивалентные метрики, определенные на заданном множестве

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Metrika

3

1685

30 авг 2010, 01:30

Определить наибольшую топологию

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

melika

1

218

11 янв 2018, 18:19

Проверка метрики на l1

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

uriy

4

670

04 апр 2015, 14:20

Эквивалентность метрики

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

DucAnh456

0

127

06 окт 2018, 03:23

Эквивалентные метрики

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Free Dreamer

1

454

20 мар 2013, 01:32

Билипшицево эквивалентные метрики

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

constantin01

3

49

01 мар 2020, 13:51

Неравенство треугольника для энергетической метрики

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

sgaybaryan

3

1817

27 окт 2019, 10:46

Неравенство треугольника для энергетической метрики

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Susanna Gaybaryan

0

77

17 янв 2020, 23:20

Определить полноту метрики: есть она или нет?

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Annakerr

1

349

19 янв 2014, 23:28


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved