Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вариационный принцип
СообщениеДобавлено: 28 май 2018, 19:34 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 590
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
184 раз в 171 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый вечер! В процессе изучения квантовой механики у меня возник следующий вопрос. Пусть [math]A[/math] — линейный эрмитов оператор, отображающий гильбертово пространство [math]\mathscr{H}[/math] в себя.

Подскажите, пожалуйста, можно ли утверждать, что

1. [math]A[/math] имеет хотя бы одно собственное значение.

2. Если вектор [math]\psi \in \mathscr{H}[/math] таков, что [math]\frac{(A \psi, \psi)}{(\psi,\psi)} = a[/math], то у оператора [math]A[/math] существует собственный вектор [math]\varphi[/math] с собственным значением [math]\lambda \leqslant a[/math]?

▼ Небольшая предыстория вопроса
В одной статье я нашел доказательство того, что в двумерной и одномерной яме всегда есть связанные состояния. Доказательство проводится следующим образом. Подбирается пробная волновая функция [math]\psi[/math] так, чтобы [math]\varepsilon ( \psi ) = \frac{\left\langle \psi \right| \hat{H} \left| \psi \right\rangle}{\left\langle{ \psi | \psi }\right\rangle } < 0[/math], а затем делается ссылка на вариационный принцип, утверждающий, что основное состояние соответствует глобальному минимуму [math]E_0[/math] функционала [math]\varepsilon ( \psi )[/math], так что [math]E_0 < 0[/math]. Но ведь минимума может и не существовать.

Можно продолжить рассуждение и сказать, что, если бы существовали лишь стационарные состояния с неотрицательной энергией, то и среднее значение гамильтониана [math]\hat{H}[/math] на любой волновой функции было бы неотрицательным. Но я не знаю, как обосновать это утверждение. И можно ли утверждать, что собственные значения вообще существуют? Физический смысл подсказывает, что они должны быть, хотя бы большие. Но как показать это математически?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вариационный принцип
СообщениеДобавлено: 28 май 2018, 20:26 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 5708
Cпасибо сказано: 68
Спасибо получено:
881 раз в 838 сообщениях
Очков репутации: 165

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ответ на оба вопроса: да. Область значений дроби, что вы выписали во втором пункте совпадает с отрезком [math][\lambda_{min},\lambda_{max}][/math], где [math]\lambda_{min}[/math] - минимальное, [math]\lambda_{max}[/math] - максимальное собственное значение оператора. Смотрите, например, учебник Люстерника и Соболева, глава 7, параграф 4, теоремы 3-4.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
Space
 Заголовок сообщения: Re: Вариационный принцип
СообщениеДобавлено: 28 май 2018, 21:19 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 590
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
184 раз в 171 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо за книгу! Это именно то, что мне нужно.

Маленькое замечание.
searcher писал(а):
Область значений дроби, что вы выписали во втором пункте совпадает с отрезком [math][\lambda_{min},\lambda_{max}][/math]

Не обязательно совпадает, но является подмножеством. Спектр и дискретным может быть, например.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вариационный принцип
СообщениеДобавлено: 28 май 2018, 21:28 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4090
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1807 раз в 1504 сообщениях
Очков репутации: 377

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Space

Вам тоже замечание: если у [math]A[/math] вообще нет дискретного спектра (как у оператора координаты, например), то с математической точки зрения называть точки его непрерывного спектра собственными значениями некорректно. То есть, строго говоря, ответ на Ваш первый вопрос: нет. Другое дело, конечно, что физикам пофиг, у них и непрерывный спектр обладает собственными функциями (дельта-функциями).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Space
 Заголовок сообщения: Re: Вариационный принцип
СообщениеДобавлено: 28 май 2018, 21:59 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 5708
Cпасибо сказано: 68
Спасибо получено:
881 раз в 838 сообщениях
Очков репутации: 165

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Извиняюсь, я про себя имел в виду, что у нас операторы вполне непрерывные. А для них (эрмитовых) понятия спектра и собственных значений совпадают. Теперь дошло, что в квантовой механике это часто не так - если у оператора не чисто точечный спектр. Вообще хотел для самообразования освоить как-нибудь основы квантовой механики.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вариационный принцип
СообщениеДобавлено: 28 май 2018, 22:30 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 590
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
184 раз в 171 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
называть точки его непрерывного спектра собственными значениями некорректно

А я то думал, что спектр и есть множество собственных значений. К сожалению, не изучал функциональный анализ. А ведь такая красивая наука! Начал читать предложенную searcher книгу и узнал, что спектр — это не собственные значения, а значения, которые не являются регулярными.

Human писал(а):
То есть, строго говоря, ответ на Ваш первый вопрос: нет.

В самом деле, даже нашел в книге пример оператора без собственных значений. Тогда и на второй вопрос ответ отрицательный.

Видимо, чтобы строго обосновать теорему о связанных состояниях, нужно знание функционального анализа поглубже моего.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вариационный ряд

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

PAULA

1

602

12 сен 2013, 16:35

Вариационный ряд

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

EEEVVVA

39

1589

10 апр 2012, 15:22

Статистика. Вариационный ряд

в форуме Экономика и Финансы

missmini

1

236

12 янв 2014, 19:13

Дискретный вариационный ряд

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

Philip

0

182

04 дек 2016, 19:56

Интервальный вариационный ряд. Накопляемоя частота

в форуме Экономика и Финансы

Lost1111

1

65

22 апр 2019, 21:40

Как определить вариационный ряд и размах выборки

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

boltunoff

7

1144

26 фев 2012, 20:22

Принцип Д'Аламбера

в форуме Механика

slog

0

412

23 окт 2014, 20:54

Принцип Дирихле

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

svetlanka25

8

917

03 ноя 2011, 19:51

Принцип двойственности

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Eric

0

404

12 ноя 2011, 20:35

Принцип двойственности

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

mazafaka

3

351

08 июн 2016, 15:52


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot] и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved