Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 4 |
[ Сообщений: 39 ] | На страницу 1, 2, 3, 4 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
mathfunk |
|
|
Помогите, пожалуйста, расписать квадратичный функционал. Или поделитесь ссылкой на материал по данной теме. Задача следующая: есть уравнение [math]Az=u[/math], где [math]z[/math] -- искомая функция, [math]u[/math] -- заданная функция, [math]A[/math] -- некоторый линейный оператор. Рассматривается функционал невязки[math]\Phi(z) = \left\| Az - u \right\| ^2 + \alpha \left\| z \right\|^2 _{W^1_2}[/math] (где [math]W^1_2[/math] -- пространство Соболева), нужно найти минимум этого функционала (некорректно поставленная задача). Для начала хочу разобраться с первым слагаемым. В одном из учебников оно расписано следующим образом: [math]\left\| Az - u \right\| ^2 = (A^*Az, z) - 2(A^*u,z) + (u,u)[/math]. Я этот результат хочу получить, делаю пошагово. [math]\left\| Az - u \right\| ^2 = (Az - u)^*(Az - u) = z^*A^*Az - u^*Az -z^*A^*u + u^*u[/math]. Как дальше поступить -- сомневаюсь, поскольку не получается совместить два факта: свойства скалярного произведения и свойства линейного оператора. Подкиньте идеи, пожалуйста. Например, запись [math]z^*A^*Az[/math] тем, что оператор [math]A^*[/math] действует на [math]z^*[/math], и я не могу его "перекинуть". Возможно, посоветуете литературу, которая поможет разобраться в этих вещах. Спасибо! |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
[math]z^*[/math], [math]u^*[/math] - что такое?
|
||
Вернуться к началу | ||
mathfunk |
|
|
swan, сопряжённые векторы к [math]z[/math] и [math]u[/math] соответственно. Рассматриваю общий случай.
|
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
mathfunk писал(а): swan, сопряжённые векторы к [math]z[/math] и [math]u[/math] соответственно. Рассматриваю общий случай. А что такое сопряжённые векторы? |
||
Вернуться к началу | ||
mathfunk |
|
|
searcher, транспонированные, у которых комплексные компоненты меняются на сопряжённые, то есть если, к примеру, есть вектор-столбец, состоящий из 2 компонент и элемент этого вектора [math]z_{12} = 1 - i[/math], при операции сам вектор преобразуется в вектор-строку, а значение элемента теперь уже [math]z_{21} = 1 + i[/math].
|
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
mathfunk писал(а): Я этот результат хочу получить, Если вы хотите получить тот результат, что вы привели, то 1) Оставляйте те же обозначения. То есть, скалярное произведение обозначайте скобками. Оператор идёт впереди векторов. То есть никаких сопряжённых векторов там нет. 2) Тот результат, который вы хотите получить не верен для общего случая (оператор не обязательно самосопряжённый). 3) Тем не менее, попробуйте получить исправленный результат с использованием символа [math]Re[/math] - действительная часть комплексного числа. 4) Обычно в таких задачах оператор [math]A[/math] всё же самосопряжённый. 5) Для нахождения минимума функционала невязки [math]\Phi (z)[/math] этого будет недостаточно, поскольку у вас там в первом слагаемом одна норма, а во втором другая. Последний раз редактировалось searcher 15 май 2018, 14:12, всего редактировалось 1 раз. |
||
Вернуться к началу | ||
mathfunk |
|
|
searcher,
Цитата: 1) Оставляйте те же обозначения. То есть, скалярное произведение обозначайте скобками. Оператор идёт впереди векторов. То есть никаких сопряжённых векторов там нет. Тогда не понимаю, как раскрыть скобку [math](Az-u)^*[/math]. Трудности вызывает член [math](Az)*[/math]. Цитата: 2) Тот результат, который вы хотите получить не верен для общего случая (оператор не обязательно самосопряжённый). Вы заметили, что количество членов у вас разное. Как раз с тем и пришёл, чтобы разобраться. Могли бы Вы пояснить этот момент? У автора задана некоторая прямоугольная матрица [math]A[/math] размера [math]m \times n[/math], вектор [math]z \in \mathbb{R} ^n[/math], а [math]u \in \mathbb{R} ^m[/math]. Цитата: 3) Для нахождения минимума функционала невязки этого будет недостаточно, поскольку у вас там в первом слагаемом одна норма, а во втором другая. Но я же могу градиент посчитать в пространстве [math]W^{1}_{2}[/math] для всего выражения. Обычно первая часть, до [math]\alpha[/math], берётся в [math]L^2[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
mathfunk писал(а): Тогда не понимаю, как раскрыть скобку [math](Az-u)^*[/math]. Трудности вызывает член [math](Az)*[/math]. Нет там такой скобки. На самом деле квадрат нормы преобразуется как [math](Az-u,Az-u)[/math] . |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
mathfunk писал(а): Как раз с тем и пришёл, чтобы разобраться. Могли бы Вы пояснить этот момент? А вы бы не могли бы написать то выражение, которое вы хотите доказать именно в том виде, как оно написано у автора? |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
У автора по-видимому рассматривается действительный случай. Вы же, как я понял из ваших постов, хотите рассмотреть комплексный случай. Поэтому доказываемая формула будет выглядеть чуть по-другому.
|
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2, 3, 4 След. | [ Сообщений: 39 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |